bilder_rotieren
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bilder_rotieren [2024/01/20 11:23] – [Herleitung der Transformationsgleichung:] torsten.roehl | bilder_rotieren [2024/02/07 08:23] (aktuell) – torsten.roehl | ||
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- | |FIXME|FIXME| | + | | {{ : |
- | |Das originale Bild ist hier Quadratisch | + | |Das originale Bild ist hier Quadratisch |
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\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | ==== Beispiel ==== | ||
+ | {{: | ||
<WRAP center round box 100%> | <WRAP center round box 100%> | ||
- | **Aufgabe:**\\ | + | {{:inf: |
Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um **40°**, wenn der alte Bildpunkt **P(10, | Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um **40°**, wenn der alte Bildpunkt **P(10, | ||
- | **Lösung:**\\ | + | |
+ | {{:inf: | ||
Für den Sinus und Cosinus ergibt sich: | Für den Sinus und Cosinus ergibt sich: | ||
* sin(40°)=0, | * sin(40°)=0, | ||
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Um Bilder zu rotieren, müssen grundsätzlich folgende Schritte abgearbeitet werden. Wir gehen hier davon aus, dass das Bild um seine Bildmitte rotiert werden soll. | Um Bilder zu rotieren, müssen grundsätzlich folgende Schritte abgearbeitet werden. Wir gehen hier davon aus, dass das Bild um seine Bildmitte rotiert werden soll. | ||
- | - Vom zu rotierenden Bild< | + | - Vom zu rotierenden Bild< |
- Ein leeres Bild <color # | - Ein leeres Bild <color # | ||
* Die neue Größe kann aus der alten Größe ermittelt werden! | * Die neue Größe kann aus der alten Größe ermittelt werden! | ||
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Mit **toScreen** bezeichnen wir eine Java-Methode, | Mit **toScreen** bezeichnen wir eine Java-Methode, | ||
- | * Bildkoordinaten haben ihren Ursprung (0|) oben links und besitzen nur positive integer Werte | + | * Bildkoordinaten haben ihren Ursprung (0|0) oben links und besitzen nur positive integer Werte |
===== Herleitung der Transformationsgleichung: | ===== Herleitung der Transformationsgleichung: | ||
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- | Bilder Rotieren | ||
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- | Dieser Abschnitt zeigt wie sich Bilder um einen beliebigen Winkel φ (sprich PHI) rotieren lassen. | ||
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- | Rotation (lat. rotatio: Drehung) | ||
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- | Wenn Bilder um einen Winkel φ gedreht (rotiert) werden sollen, muss beachtet werden, dass das rotierte Bild eventuell größer als das orginale Bild werden kann. | ||
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- | orginal todo gedrehtes Bild todo | ||
- | Das orginale Bild ist hier Quadratisch todoxtodo. Das Bild wurde um 45° Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht. | ||
- | Damit das komplete Bild sichtbar ist muss es jetzt todoxtodo groß sein. | ||
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- | Wenn Bilder gedreht werden, ist das Drehzentrum in der Regel der Mittelpunkt des Bildes | ||
- | Der wichtgste Parameter bei der Rotation ist der Drehwinkel φ. Die Drehung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn | ||
- | In Java werden die Drehwinkel nicht in Grad, sondern in Rad angegeben. Es gilt 360° = 2 Π rad. Winkel werden also nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß verwendet. | ||
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- | Für die Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß gilt die Beziehung: | ||
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- | Die Transformationsgleichung für die Rotation | ||
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- | Bei der Rotation wird jeder Bildpunkt P(x|y) des Orginalbildes in einen neuen Bildpunkt P´(x|y) überführt. | ||
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- | mit altem Bildpunkt P( px | py ) bezeichnen wir die Bildpunkte des orginalen Bildes. | ||
- | mit neuem Bildpunkt P' ( p´x | p´y ) werden die transformierten Bildpunkte bezeichnet (P´ lies P Strich). | ||
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- | Gesucht ist eine Transformation, | ||
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- | neuer Bildpunkt = Transformation R(φ) · alter Bildpunkt | ||
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- | R(φ) ist die sogennante Transformationsmatrix um den Winkel φ | ||
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- | Wir werden an dieser Stelle die Transformation gleich angeben und zeigen, wie man mit ihr arbeitet. Eine Herleitung dieser Gleichungen ist weiter unten angegeben. | ||
- | Die gesuchten Transformationgleichungen sind: | ||
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- | p´x = cos(φ) · px - sin(φ) · py | ||
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- | p´y = sin(φ) · px + cos(φ) · py | ||
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- | Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um 40°, wenn der alte Bildpunkt P(10,30) ist? | ||
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- | Für den Sinus und Cosinus ergibt sich: | ||
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- | sin(40°)=0, | ||
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- | cos(40°)=0.766 | ||
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- | Eingesetzt in die Transformationsformeln ergibt sich: | ||
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- | px´ = 0.766·10 - 0,643·30 = -11,63 | ||
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- | py´ = 0,643·10 + 0,766·30 = 29,41 | ||
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- | Die neuen Koordinaten sind damit P´( -11,63 | 29,41 ). | ||
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- | Die folgende Java Methode benutzt die Java Klasse Point, um die Transformation zu berechnen. | ||
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- | public Point rotation(Point point, double angle){ | ||
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- | Point result = new Point(); | ||
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- | double c = Math.cos(angle); | ||
- | double s = Math.sin(angle); | ||
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- | result.x = c*point.x - s*point.y; | ||
- | result.y = s*point.x + c*point.y; | ||
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- | return result; | ||
- | } | ||
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- | orginal bild rotiertes bild | ||
- | Orginal. Das um xx Grad gedrehte Bild. | ||
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- | Herleitung der Transformationsgleichung: | ||
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Wir leiten jetzt die im vorherigen Abschnitt angegeben Transformationsgleichungen her. | Wir leiten jetzt die im vorherigen Abschnitt angegeben Transformationsgleichungen her. | ||
- | Voraussetzungen | + | ==== Voraussetzungen |
- | Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt. | ||
- | Sie lauten: | ||
- | cos(φ + α ) = cos(φ)·cos(α) - sin(φ)·sin(α) | + | Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt. |
- | sin(φ + α ) = sin(φ)·cos(α) + cos(φ)·sin(α) | ||
+ | * cos(φ + α ) = cos(φ)·cos(α) - sin(φ)·sin(α) | ||
+ | * sin(φ + α ) = sin(φ)·cos(α) + cos(φ)·sin(α) | ||
- | + | Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es | |
- | Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es ausreichend, | + | |
==== Herleitung ==== | ==== Herleitung ==== | ||
+ | |{{: | ||
+ | |Der rote Punkt wird bei einer Drehung um den Winkel φ in den blauen Punkt überführt (transformiert). |Die oben stehenden Formeln lassen sich direkt aus dem Bild ablesen. \\ **Schauen Sie sich beides solange an, bis ihnen das gelingt!** | | ||
+ | |< | ||
+ | sin(φ+α) bzw. cos(φ+α) durch ihre rechten Seiten. \\ \\ \\ \\ Der Radius r kürzt sich heraus.</ | ||
+ | | Damit sind die oben angegebenen Transformationsgleichungen gefunden. :-) || | ||
bilder_rotieren.1705749831.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/20 11:23 von torsten.roehl