• die Gänseblume
• engl.: daisy
• wiss.: Bellis perennis

Um diesen Abschnitt verstehen zu können, sollte das Kapitel Einführung in die Numerik zuerst behandelt werden! Dieser Abschnitt eignet sich auch als fächerübergreifende Einheit in Mathematik, Biologie (theoretische Ökologie) oder Physik.

		Die schwarze Variante ist relativ selten, da sie in der Natur nicht vorkommt. Dennoch findet man mitunter ihr Bild im Internet.
Ein Gänseblümchen in der weißen Variante.	Ein Gänseblümchen in der schwarzen Variante.

Daisyworld (Gänseblümchen-Welt) ist ein theoretisches Modell, das von Lovelock und Watson entwickelt wurde, um die Gaia-Theorie zu untermauern. Die Gaia-Theorie wurde von der Mikrobiologin Lynn Margulis und dem Physiker James Lovelock entwickelt.

Hören wir uns an, was MEPHISTOPHELES dazu sagt:

Wer will was Lebendiges erkennen und beschreiben,
Sucht erst den Geist heraus zu treiben,
Dann hat er die Teile in seiner Hand,
Fehlt, leider! nur das geistige Band.
Goethe - Faust I

Genau diese Vorgehensweise, die ein zu untersuchendes System in seine Einzelteile zerlegt, um eben diese dann auch einzeln zu untersuchen, kritisiert Lovelock. Die Erforschung emergenter Eigenschaften - das sind Eigenschaften, die nur im komplexen Zusammenspiel aller Einzelteile in Erscheinung treten - ist mit diesem Ansatz nicht möglich. Lovelock und Margulis Augenmerk galt deswegen dem Gesamtsystem. Unter Gesamtsystem wird dabei gleich die Erde inklusiv allem Leben auf der Erde verstanden. Nach der Gaia-Theorie ist die Erde selbst ein lebender Organismus. Die Erde bildet zusammen mit allen Lebewesen ein komplex interagierendes Netzwerk. Die moderne Physik hat erst kürzlich damit begonnen, Eigenschaften interagierender Systeme systematisch zu untersuchen. Forschung im Bereich der Chaostheorie, selbst organisierte Kritizität, Fraktale, neuronale Netze, nicht lineare Systeme etc… oder einfach die Physik der komplexen Systeme sind hoch aktuell. Lovelock ist mit seiner Theorie teilweise auf erhebliche Kritik seiner Kollegen gestoßen. Um genauer zu erklären, was Lovelock eigentlich meinte, entwickelte er die Daisyworld.

Die Daisyworld ist ein relativ einfaches komplexes System. Es besteht lediglich aus vier Komponenten:

1. Eine Sonne, die dank ihrer Wärme (abgestrahlte Energie) Leben spenden kann.
2. Ein Planet, der die Sonne umkreist.
3. Eine Population von weißen Gänseblumen.
4. Eine Population von schwarzen Gänseblumen.

Der Modellcharakter kommt schon darin zum Ausdruck, dass es schwarze Gänseblumen gar nicht gibt. Dennoch gelang es Lovelock und Watson mit diesem Modell große Aufmerksamkeit auf sich zu ziehen.

Damit Leben auf dem Planeten existieren kann, ist es notwendig, dass die Temperatur des Planeten in einem Bereich liegt, der es möglich macht, dass sich Leben entwickeln kann (Abbildung 1). Ein Planet ohne Leben wird umso heißer, je größer die Sonneneinstrahlung wird.
In der Entwicklungsgeschichte der Sonne, hat die Sonnenleuchtkraft schon um ca: 25% zugenommen, ohne dass sich die Temperatur der Erde dabei wesentlich erhöht hat. Wie lässt sich das erklären?
Lovelock u. Watson zeigten in ihrem Modell, dass es möglich ist, die Temperatur in Abhängigkeit von der Sonneneinstrahlung in einem großen Bereich konstant zu halten. Notwendig dafür ist die Existenz zweier Gänseblumenarten (Abbildung 2), die Aufgrund ihrer unterschiedlichen Eigenschaften in der Lage sind, die Gesamttemperatur des Planeten in der Nähe ihrer eigenen optimalen Wachstumstemperatur zu stabilisieren. Mit lediglich einer Blumenart war es nicht möglich, die Temperatur des Planeten in Abhängigkeit der sich veränderten Sonneneinstrahlung so kontrolliert konstant zu halten. Als Lovelock dann zusätzliche Gänseblumenarten und Lebewesen (Füchse, Kaninchen…) hinzufügte, machte er die Entdeckung, dass sich das System sehr stabil verhält. Dieses wertete er als starkes Plädoyer für die Artenvielfalt.
Bevor Lovelock zeigen konnte, dass die Regulierung der Planetentemperatur, eine wie er sagte System emergente Eigenschaft ist und sich auf dem interagierenden System ergibt, wurde der Gaia-Theorie vorgeworfen, sie sei teleologisch.
Als teleologisch könnte hier z.b. gelten, dass wie durch ein Wunder die Temperatur der Erde gerade derjenigen entspricht, die notwendig ist, damit sich Leben entwickeln kann.

Abbildung 1: Die Grafik zeigt den Einfluss der Sonneneinstrahlung auf die Temperatur eines Planeten im Daisyworld Modell. Die hellgraue Kurve ist der Temperaturverlauf ohne Leben. Hier gilt. umso höher die Sonneneinstrahlung ist, desto höher ist auch die Temperatur des Planeten. Damit findet in diesem Szenario keine Selbstregulation statt. Gänzlich anders verhält es sich (grüne Kurve), wenn wir Leben zulassen. Leben heißt hier, dass zwei Gänseblumenarten, die um den zur Verfügung stehenden Boden in Konkurrenz stehen, existieren. Mit Leben entwickelt sich nun das Gesamtsystem (Planet + Blumenpopulationen) in einem Zustand, der es dem Planet ermöglicht, fast unabhängig von der Sonneneinstrahlung die Temperatur nahe der optimalen Wachstumstemperatur der beiden Blumenarten zu halten. Bei einer Sonneneinstrahlung von ≈1.6 ist es für die Blumen zu heiß und sie sterben aus. Ab diesem Wert entspricht der Temperaturverlauf daher dem ohne Leben.

Abbildung 2: Dargestellt ist die Änderung der beiden Gänseblumenpopulationen in Abhängigkeit der Sonneneinstrahlung. Wenn es kalt ist, ist der Anteil der schwarzen Gänseblumen wesentlich höher als der Anteil der weißen Blumen. Mit zunehmender Sonneneinstrahlung schwindet der Anteil der schwarzen Gänseblumen zugunsten der weißen Gänseblumen. Ab einer Sonneneinstrahlung von 1.6 ist es für beide Populationen nicht mehr möglich zu überleben. Damit ist die Selbstregulation des Gesamtsystems (Planet + Blumenarten) zusammengebrochen.

Der nächste Abschnitt erklärt die physikalischen Grundlagen, die notwendig sind, um das Modell zu verstehen.

Dieser Abschnitt erklärt die Albedo und das Stefan-Bolzmann-Gesetz. Beides spielt in der Daisyworld eine wichtige Rolle.

Als Albedo (Rückstrahlvermögen) bezeichnet man die Fähigkeit eines Körpers, auf ihn einfallende Strahlung wieder zu reflektieren. Die Albedo ist damit ein einfacher Zahlenwert zwischen 0 und 1.

• Ein Körper mit einer Albedo von 1, reflektiert die Gesamte auf ihn auftreffende Strahlung (perfekter Reflektor).
• Ein Körper mit einer Albedo von 0, absorbiert die Gesamte auf ihn auftreffende Strahlung und reflektiert demnach nichts (perfekter Absorber).

Frisch gefallener Schnee hat eine Albedo von 0.8 ~ 0.90, d.h. bis zu 90% der einfallenden Strahlung werden wieder reflektiert. Dadurch heizt sich der Körper (in diesem Fall der Schnee) nicht so schnell auf.

Dunkler Asphalt hat eine Albedo von ~ 0.15, d.h lediglich 15% der einfallenden Strahlung wird reflektiert. Deswegen ist der Asphalt im Sommer natürlich auch recht warm.
Allgemein gilt:

Dunkle Körper haben eine niedrige Albedo und sind wärmer, als helle Körper.

$\longleftarrow$ Albedo fällt ab (Körper werden wärmer)

$\longrightarrow$ Albedo steigt an ( Körper werden kälter)

Im Daisyworld-Modell müssen die Albedos der weißen Gänseblumen, der noch unbewachsenen Fläche der Erde und der schwarzen Blumen berücksichtigt werden.

Bezeichnen wir die Albedo der weißen Gänseblumen mit $A_w$ , die der unbewachsenen Fläche mit $A_g$ und die der schwarzen Blumen mit $A_b$ dann folgt unabhängig von den tatsächlichen Werten für die Albedo aus dem bereits gesagten: \begin{equation} A_b < A_g < A_w \end{equation}

Die Indizes stehen für (b=black, g=ground und w=white).

Jeder Körper strahlt Energie ab. Dabei gilt:
Umso heißer der Körper ist, desto mehr Energie wird abgestrahlt.
Das Stefan-Bolzmann-Gesetz beschreibt nun den genauen Zusammenhang zwischen der Energieabstrahlung eines Körpers und die dafür notwendige Temperatur. Interessanterweise hängt die abgestrahlte Energie sehr empfindlich von der Temperatur ab. Verdoppelt man z.B. die Temperatur eines Körpers (streng genommen werden ideale Körper betrachtet, worauf wir aber hier nicht eingehen wollen) dann wird die abgestrahlte Energie 16-mal so groß.

Das Stefan-Bolzmann-Gesetz lautet: \begin{equation} I = \sigma \cdot T^4 \end{equation}

Hier ist I die abgestrahlte Energie pro Zeit und Fläche (Einheit: $W/m^2$). T ist die Temperatur in Kelvin, sie geht mit der vierten Potenz ein. Und σ eine Konstante mit dem Zahlenwert σ=$5.67032\cdot 10^{-8}\; W/(K^4m^2)$. Diese Konstante heißt auch Stefan-Bolzmann-Konstante.

In Daisyworld konkurrieren zwei Blumenpopulationen um die noch frei zur Verfügung stehenden Platz, dabei beziehen sie ihre Energie von der Sonne.

Die Sonne liefert die Energie die zum Überleben der zwei Gänseblumenarten notwendig ist. Aber die Sonneneinstrahlung ist nicht konstant. Im laufe ihre Entwicklung nimmt die Sonneneinstrahlung immer mehr zu. Ein Planet, auf dem Leben herrscht, muss mit dieser Herausforderung fertig werden.	Die Temperatur des Planeten hängt von der Albedo A des Planeten ab. Diese Albedo setzt sich aus den drei Albedos der weißen Blumen, der schwarzen Blumen und der grauen Fläche zusammen. Die graue Fläche ist die für die Pflanzen noch frei zur Verfügung stehenden Fläche. Die Anteile dieser Flächen können sich verändern, je nachdem wie sich die Blumenpopulationen entwickeln.

In den folgenden Abschnitten werden alle Gleichungen im Detail beschrieben, die notwendig sind, um das System zu beschreiben. Im darauf folgenden Abschnitt wird dann ein Algorithmus angegeben, um die Daisyworld zu simulieren.

Daisyworld beherbergt schwarze und weiße Gänseblumen, die ihre optimale Wachstumstemperatur bei 22.5 °C haben. Die Blumen unterscheiden sich in ihrer Albedo. Die Albedo der unbewachsenen Fläche des Planeten ist größer als die der schwarzen, aber kleiner als die der weißen Blumen. Die Gleichungen, die die Änderungen der Gänseblumenpopulationen beschreiben lauten:

\begin{equation} \frac{d\alpha_w}{dt} = \alpha_w (\alpha_g \beta (T_w) - \gamma) \end{equation} \begin{equation} \frac{d\alpha_b}{dt} = \alpha_b (\alpha_g \beta (T_b) - \gamma) \end{equation}

Die Bezeichnungen sind der Tabelle 1 zu entnehmen. In Worten lautet Gleichung (3), dass die zeitliche Änderung der weißen Gänseblumen ( $\frac{d\alpha_w}{dt}$ ) proportional zur jeweils vorhandenen Anzahl ( $\alpha_w$) der Blumen ist. $\beta(T_w)$ ist die Wachstumsrate; sie ist temperaturabhängig. Die Abhängigkeit von der noch unbewachsenen Fläche $\alpha_g$ ist ebenfalls berücksichtigt.$\gamma$ ist eine Konstante, die die Sterberate modelliert. Es gilt dann, dass der Faktor $-\gamma\cdot \alpha_w$ die Abnahme der Population beschreibt. Der Faktor $\alpha_w \alpha_g \beta(T_w)$ bestimmt, wie die Population in jedem Zeitschritt ($dt$) zunimmt. (Entsprechendes gilt für Gleichung (4)).

Wir fassen zusammen: Die Änderung der Blumenpopulation werden durch ein Differentialgleichungssystem beschrieben.
Die Blumen sind abhängig von der noch frei zur Verfügung stehenden Fläche $\alpha_g$ und einer temperaturabhängigen Wachstumsrate $\beta$. Die gesamte zur Verfügung stehende Fläche ist auf 1 normiert, d.h. \begin{equation} \alpha_g + \alpha_b + \alpha_w = 1 \end{equation}

Die Wachstumsraten der Gänseblumen hängt nur von der Temperatur ab. Wenn es zu kalt ist (ab 5 ° C abwärts), kann kein Wachstum mehr stattfinden. Wenn es auf dem Planeten 40° C und heißer wird, ist es für die Gänseblumen zu lebensfeindlich und es findet abermals kein Wachstum mehr statt. Die optimale Wachstumstemperatur liegt für die Blumen bei 22.5°C. Die Wachstumsrate $\beta(T)$ ist eine Zahl zwischen 0 und 1. 0 bedeutet kein Wachstum und 1 bedeutet optimale Wachstumsbedingungen.

Der Graph der Funktion β(T). Die Wachstumsrate nimmt Werte zwischen 0 (bei 5 °C und 40 °C) und 1 (bei 22.5 °C) an.

Aus dem oben erwähnten Bedingungen folgt für die Wachstumsrate β(T) : \begin{equation} \beta(T) = 1 - \frac{1}{17.5^2} \; (T-22.5)^2\end{equation}

In dieser Form muss T in °Celsius eingegeben werden.

In der Simulation verwenden wir alle Gleichungen in einer Form, die als Eingabe die Temperatur in Kelvin erwarten, als Umrechnungsfaktor verwenden wir 0 °C = 273 Kelvin.

Mit dieser Konvention lautet die Formel dann: \begin{equation} \beta(T) = 1 - \frac{1}{17.5^2} \; (T-29.5)^2\end{equation}

mit $\frac{1}{17.5^2}$ ≈ 0.003265

In diesem Abschnitt leiten wir die Formel (Gleichung 8) her. Diese Formel ermöglicht die Berechnung der Temperatur des Planeten in Abhängigkeit der Albedo A.

\begin{equation} T^4 = L \frac{S_0}{4\sigma} (1-A) \end{equation}

T ist die Temperatur des Planeten. $S_0$ und $\sigma$sind Konstanten. L ist eine Zahl, (0.6 ≤ L ≤ 1.65) die es uns ermöglicht, die Änderung der Sonneneinstrahlung zu modellieren. Auch unsere Sonne wird ihre Sonneneinstrahlung in den nächsten Millionen Jahren weiter erhöhen. Für L = 1 beschreiben wir die Sonneneinstrahlung zum jetzigen Zeitpunkt, dementsprechend beschreiben wir mit L > 1 die zukünftige Sonneneinstrahlung. A ist die Albedo des Planeten, auf die weiter unten genauer eingegangen wird.

Die Temperatur des Planeten bleibt dann konstant, wenn die pro Zeit eingestrahlte Energie (PEIN ) genauso groß ist wie die pro Zeit abgestrahlte Energie (PAUS) (Abbildung 3).

\begin{equation}P_{EIN} = P_{AUS}\end{equation}

Die von dem Planeten abgestrahlte Intensität können wir mithilfe des Stefan-Bolzman-Gesetzes angeben, dabei gilt $I_{AUS}= \frac{P_{AUS}}{m^2}$: \begin{equation} I_{AUS} = \sigma\cdot T^4\end{equation}

Hierbei ist T die Temperatur des Planeten.

	Im dynamischen Gleichgewicht muss die pro Zeiteinheit (das ist die Leistung) eingestrahlte Energie genau so groß sein, wie die pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie, denn wäre z.B. die eingestrahlte Leistung größer, würde sich der Planet immer mehr erwärmen.

Ein Teil dieser aufgenommen Energie wird unmittelbar reflektiert (rote Pfeile). Der andere Teil (blaue Pfeile) wird durch Wärmestrahlung abgegeben. Die Wärmestrahlung erfolgt von der gesamten Oberfläche der Erde.||

Abbildung 3 Wenn die Erde die gesamte von der Sonne abgestrahlte Energie aufnehmen soll, dann müssen alle Strahlen senkrecht auf die Erde fallen. Das ist aber nicht der Fall und somit kann die Erde letztlich nur mit seiner Querschnittfläche (π· R2) die von der Sonne abgestrahlte Energie aufnehmen. Ein Teil dieser aufgenommen Energie wird unmittelbar reflektiert (rote Pfeile). Der andere Teil (blaue Pfeile) wird durch Wärmestrahlung abgegeben. Die Wärmestrahlung erfolgt von der gesamten Oberfläche der Erde.|

Das Original von James Lovelock.	Diesen Buch bietet einen unterhaltenden und informativen Einstieg in das Thema.	…für diejenigen die es ganz genau wissen wollen hier der englische ArtikelExterner Link, indem die Daisyworld genau beschrieben wird.

Dieses interessante Modell hat noch nicht ausgedient. Hier eine Liste mit Folgeartikeln, die aufbauend auf dem einfachen 'Daisywold' Modell viele weitere Aspekte der theoretischen Ökologie behandeln:

• Ackland (2004)
• Ackland et al (2003)
• Akagi 2006
• Adams et al (2003)
• Andrew (1996)
• Andrew (1997)
• Baldocchi et al (2005)
• Cohen & Rich (2000)
• Dagg (2002)
• Dewar (2003)
• Dewar (2003b)
• Dewar (2005)
• Dewar (2005b)
• Downing (2002)
• Downing & Zvirinsky (2000)
• Dyke & Harvey (2005)
• Dyke & Harvey (2005b)
• Franck et al (2000)
• Harding & Lovelock (1996)
• Harvey (2004)
• Jascourt & Raymond (1991)
• Kleidon (2004)
• Koelsag et al (1999)
• Lansing et al (1998)
• Lapenis (2002)
• Lenton (1998)
• Lenton (2002)
• Lenton & Lovelock (2000)
• Lenton & Lovelock (2001)
• Lenton & van Oijen (2002)
• Lenton & Wilkinson (2003)
• Lovelock (1992)
• McCormack(2003)
• Nature (2005)
• Nevinson et al (1999)
• Pujol (2002)
• Pujol et al (2005)
• Robertson & Robinson (1998)
• Saunders (1994)
• Saunders (1998)
• Saunders et al (2000)
• Seto & Akagi (2005)
• Staley (2002)
• Stocker (1995)
• Sugimoto (2002)
• Toniazzo et al (2004)
• Von Bloh (1997)
• Von Bloh (1999)
• Weber (2001)
• Wilkinson (2003)
• Williams & Nobel (2005)
• Zeng (1990)