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--- gaensebluemchen [2024/01/14 13:09] – [Die verwendete Parameter und Gleichungen] torsten.roehl
+++ gaensebluemchen [2024/01/14 15:48] (aktuell) – torsten.roehl
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 Mit dieser Konvention  lautet die Formel dann:
-\begin{equation} \beta(T) = 1 - \frac{1}{17.5^2} \; (T-29.5)^2\end{equation}
+\begin{equation} \beta(T) = 1 - \frac{1}{17.5^2} \; (T-295.5)^2\end{equation}
 mit  $\frac{1}{17.5^2}$  ≈ 0.003265
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-T ist die Temperatur des Planeten. $S_0$ und $\sigma$sind Konstanten.  L ist eine Zahl,  (0.6 ≤ L ≤  1.65) die es uns ermöglicht, die Änderung der Sonneneinstrahlung zu modellieren.  Auch unsere Sonne wird  ihre Sonneneinstrahlung in den nächsten Millionen Jahren weiter erhöhen. Für L = 1 beschreiben wir die Sonneneinstrahlung zum jetzigen Zeitpunkt, dementsprechend beschreiben wir mit L > 1 die zukünftige Sonneneinstrahlung.  A ist die Albedo des Planeten, auf die weiter unten genauer eingegangen wird.
+T ist die Temperatur des Planeten. $S_0$ und $\sigma$ sind Konstanten.  L ist eine Zahl,  (0.6 ≤ L ≤  1.65) die es uns ermöglicht, die Änderung der Sonneneinstrahlung zu modellieren.  Auch unsere Sonne wird  ihre Sonneneinstrahlung in den nächsten Millionen Jahren weiter erhöhen. Für L = 1 beschreiben wir die Sonneneinstrahlung zum jetzigen Zeitpunkt, dementsprechend beschreiben wir mit L > 1 die zukünftige Sonneneinstrahlung.  A ist die Albedo des Planeten, auf die weiter unten genauer eingegangen wird.
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-Die Temperatur des Planeten bleibt dann konstant, wenn die pro Zeit eingestrahlte Energie (PEIN ) genauso groß ist wie die pro Zeit abgestrahlte Energie (PAUS) (Abbildung 3).
+Die Temperatur des Planeten bleibt dann konstant, wenn die pro Zeit eingestrahlte Energie ($P_{EIN}$) genauso groß ist wie die pro Zeit abgestrahlte Energie ($P_{AUS}$) (Abbildung 3).
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-\begin{equation} A = \alpha_g \; A_g + \alpha_b \; A_b + \alpha_w \; A_W\end{equation}
+\begin{equation} A = \alpha_g \; A_g + \alpha_b \; A_b + \alpha_w \; A_w\end{equation}
 Die Albedo A bestimmt damit also indirekt die Planetentemperatur. Da die Albedo A von $\alpha_g$,$\alpha_b$ und $\alpha_w$ abhängig ist, können auf diese Weise die Blumenpopulationen auf die Planetentemperatur einwirken.
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 <WRAP center round box 100%>
-{{:inf:uebung.gif?|}}Leiten sie die Gleichung 7a  aus der Gleichung A1 her. Setzen Sie hierfür die Gl. (8) in die Gl. (16) ein um formen sie um.
+{{:inf:uebung.gif?|}} Leiten sie die Gleichung 21a  aus der Gleichung 16 her. Setzen Sie hierfür die Gl.(8) in die Gl.(16) ein um formen sie um.
 {{:inf:solution.gif?|}}   [[https://www.informatics4kids.de/addons-i4k/misc/herleitung_gleichung.png|...aber erst einmal selber probieren]] ;-)
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 Wir fassen alle benötigten Parameter und Gleichungen noch einmal zusammen, bevor wir einen Algorithmus zur Modellierung von Daisyworld angeben.
 ==== Die verwendete Parameter und Gleichungen ====
 ^Parameter^Bedeutung^Parameterbezeichnung in Java^Typische Anfangswerte^
-|A|Albedo des Planeten|	A| wird berechnet|
+|$A$|Albedo des Planeten|A| wird berechnet|
-|Ag	|Albedo der unbewachsenen Fläche|	Ag|	0.5|
+|$A_g$|Albedo der unbewachsenen Fläche|Ag|0.5|
-|Ab	|Albedo der schwarzen Gänseblumen|	Ab|	0.25|
+|$A_b$|Albedo der schwarzen Gänseblumen|Ab|0.25|
-|Aw|	Albedo der weißen Gänseblumen|	Aw	|0.75|
+|$A_w$|Albedo der weißen Gänseblumen|Aw|0.75|
-|αg|	Anteil der ungewachsenen Fläche (des Untergrundes)|	ag	|0.8|
+|$\alpha_g$|Anteil der ungewachsenen Fläche (des Untergrundes)|ag|0.8|
-|αb|	Anteil (Population) der schwarzen Gänseblumen	|ab|	0.1|
+|$\alpha_b$|Anteil (Population) der schwarzen Gänseblumen|ab|0.1|
-|αw|	Anteil (Population) der weißen Gänseblumen|	aw|	0.1|
+|$\alpha_w$|Anteil (Population) der weißen Gänseblumen|aw|0.1|
-|T|	Temperatur des Planeten|	T|	 wird berechnet|
+|T|Temperatur des Planeten|T|wird berechnet|
-|Tw|	Temperatur der weißen Gänseblumen (w=white)|	|Tw|	 wird berechnet|
+|$T_w$|Temperatur der weißen Gänseblumen (w=white)|Tw| wird berechnet|
-|Tb|	Temperatur der schwarzen Gänseblumen (b=black)|	Tb	| wird berechnet|
+|$T_b$|Temperatur der schwarzen Gänseblumen (b=black)|Tb| wird berechnet|
-|Tg|	Temperatur der unbewachsenen Fläche (g=ground)	|Tg	| wird berechnet|
+|$T_g$|Temperatur der unbewachsenen Fläche (g=ground)|Tg| wird berechnet|
-|β(...)|	Wachstumsfaktor der weißen/schwarzen Blumen	beta(...)	| wird jeweils berechnet|
+|$\beta$(...)|Wachstumsfaktor der weißen/schwarzen Blumen	|beta(...)|wird jeweils berechnet|
-|γ	|Sterberate der Blumen|gamma|	0.3|
+|$\gamma$|Sterberate der Blumen|gamma|0.3|
-|L	|Kontrollfaktor um die Veränderung der Sonneneinstrahlung (S0) zu modellieren: 0.6 ≤ L ≤ 1.65 L = 1.0 entspricht dem heutigen Wert für die Sonneneinstrahlung.|	L|	0.6|
+|L|Kontrollfaktor um die Veränderung der Sonneneinstrahlung ($S_0$) zu modellieren: 0.6 ≤ L ≤ 1.65 L = 1.0 entspricht dem heutigen Wert für die Sonneneinstrahlung.|L|0.6|
-|R|	Transportparamer  (0 ≤ R ≤ 1), zur Modellierung des Wärmetransportes.R=1  bedeutet vollständige Isolation und R=0 bedeutet vollständiger Wärmetransport.|R|0.12|
+|R|Transportparamer  (0 ≤ R ≤ 1), zur Modellierung des Wärmetransportes.R=1  bedeutet vollständige Isolation und R=0 bedeutet vollständiger Wärmetransport.|R|0.12|
-|S0	|Solarkonstante (für die Erde gilt  S0 = 1.367 kW/m2 wir verwenden hier einen höheren Wert. Für L=1 gilt dann in der Simulation S=3668 )|	S|	3668|
+|$S_0$|Solarkonstante (für die Erde gilt  $S_0 = 1.367\cdot kW/m^2$ wir verwenden hier einen höheren Wert. Für L=1 gilt dann in der Simulation S=3668 )|S|3668|
-|σ|	Stefan Bolzmann Konstante σ=5.67032 · 10-8  W/( K4 m2)	|sigma	|5.67032·10-8|
+|$\sigma$|Stefan Bolzmann Konstante $\sigma=5.67032\cdot 10^{-8}  \frac{W}{K^4\; m^2}$	|sigma	|$5.67032\cdot10^{-8}$|
+|//Tabelle 1://||||
+==== Übersicht über die verwendeten Gleichungen (Temperaturen in Kelvin) ====
+^Bedeutung^Gleichung^Nr.^Beschchreibung^
+|Planetarische Albedo| $A = \alpha_g\;A_g + \alpha_b\;A_b +\alpha_w\;A_w$|(12)|Die planetarische Albedo ist in etwa ein Mittelwert aus der Albedo der schwarzen und weißen Gänseblumen, sowie der Albedo $A_g$ des unbewachsenen Untergrundes.|
+|//<color #00a2e8>Populationsgrößen</color>//||||
+|Änderungsrate der weißen Gänseblümchen| $\frac{d\alpha_w}{dt} = \alpha_w (\alpha_g\; \beta(T_w) -\gamma)$|(3)|Diese Gleichung beschreibt die Entwicklung der weißen Gänseblümchen.|
+|Änderungsrate der schwarzen Gänseblümchen| $\frac{d\alpha_b}{dt} = \alpha_b (\alpha_g\; \beta(T_w) -\gamma)$|(4) |Diese Gleichung beschreibt die Entwicklung der schwarzen Gänseblümchen.|
+|Anteil der unbewachsenen Fläche (des Untergrundes)|$\alpha_g = 1- \alpha_b  -\alpha_w$   |(5)| |
+|//<color #00a2e8>Wachstumsraten</color>//||||
+|Wachstumsrate (weiße Blumen)|$\beta(T_w) =1 - 0.003265\cdot(T_w - 295.5)^2$|(7a) |Für die weißen Blumen wird $T_w$ verwendet: $\beta(T_w)$|
+|Wachstumsrate (schwarze Blumen)|$\beta(T_b) =1 - 0.003265\cdot(T_b - 295.5)^2$|(7b) |Für die schwarzen Blumen wird $T_b$ verwendet: $\beta(T_b)$|
+|//<color #00a2e8>Temperaturen</color>//||||
+|Temperatur des Planeten|$T^4 = L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(1-A)$ |(8)|
+|Temperatur der weißen Gänseblumen|$T^4_w = R\;L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(A-A_w)+ T^4$ |(21a) |
+|Temperatur der schwarzen Gänseblumen|$T^4_b = R\;L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(A-A_b)+ T^4$ |(21b)|
+|Termperatur der unbewachsenen Fläche|$T^4_g = R\;L\frac{S_0}{4\sigma}\cdot(A-A_g)+ T^4$ |(21c)|
+|//Tabelle 2: //||||
 ==== Der Algorithmus ====
+^Schritte^Beschreibung^
+|**Step 1.**|Startwerte festlegen (Starte mit L=0.6 - dieser Parameter regelt die Sonneneinstrahlung).|
+|**Step 2.**|Berechne die Albedo des Planeten A|
+|**Step 3.**|<WRAP>
+Berechne sämtliche Temperaturen:
+  * Berechne die Temperatur des Planeten $T$.
+  * Berechne die Temperaturen der weißen $T_w$ Blumen.
+  * Berechne die Temperaturen der schwarzen $T_w$ Blumen.
+  * Berechne die Temperatur der unbewachsenen Fläche $T_g$.
+</WRAP>|
+|**Step 4.**|<WRAP>Berechne die Wachstumsrate β der weißen Gänseblumen.\\
+Berechne die Wachstumsrate β der schwarzen Gänseblumen.
+</WRAP>|
+|**Step 5.**|<WRAP>Berechne $\alpha_w$ den neuen Anteil der weißen Gänseblumen.\\
+Berechne $\alpha_b$ den neuen Anteil der schwarzen Gänseblumen.\\
+Berechne $\alpha_g$ den neuen Anteil der unbewachsenen Fläche.\\
+Hinweis: Es gilt $\alpha_w + \alpha_b+\alpha_g = 1$. \\ Falls eine Gänseblumenart < 0.01 ist ($\alpha_b$  < 0.01 oder $\alpha_w$ < 0.01), wird sie zurück auf 0.01 gesetzt.
+</WRAP>|
+|**Step 6.**|Wiederhole von **Step 2.**, solange bis die Populationsgrößen (Flächenanteile) $\alpha_w$ und $\alpha_b$ konvergieren. Oder eine bestimmte Schrittzahl erreicht wurde.|
+|**Step 7.**|<WRAP>Zeichne die neuen Anteile $\alpha_w$ und $\alpha_b$ in Abhängigkeit der Sonneneinstrahlung in ein Koordinatensystem. \\
+Alternativ kann auch die Temperatur des Planeten in Abhängigkeit der Sonneneinstrahlung in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Zum Vergleich sollte dann auch die Temperatur des Planeten ohne Leben eingetragen werden.
+</WRAP>|
+|** Step 8.**|Erhöhe L und wiederhole von **Step 2.** um die nächsten Wertepaare zu erhalten.|
+|//Tabelle 3:// ||
+Die Änderungen von $\alpha_w$ und $\alpha_b$ werden durch Differentialgleichungen beschrieben, dies muss in der Numerik gesondert berücksichtigt werden. Wir verwenden den Euler-Algorithmus zur numerischen Lösung der Differentialgleichungen mit einer Schrittweite (timeStep) Δt = 0.01 und 1000 Iterationen (**Step 6**). **Step 6** bedeutet ferner, dass das System jeweils genügend Zeit hat, sich in einem stabilen Systemzustand zu entwickeln, bevor L inkrementiert wird.  Zu beachten ist auch, dass die Werte $\alpha_w$ und $\alpha_b$   nur einmal am Anfang initialisiert werden und dann über die gesamte Simulation nicht mehr verändert werden. Lovelock und Watson setzten $\alpha_w$  und  $\alpha_b$ gleich 0.01, wenn diese Größen einen Wert unter 0.01 annehmen bevor es mit **Step 2** weitergeht, das machen wir natürlich auch so. Der Algorithmus ist robust, d.h. initialisiert man z.B. das System neu bevor man jeweils mit** Step 2** beginnt, dann ändert sich die Dynamik nicht grundsätzlich, allerdings hängt sie dann wesentlich stärker von den Populationsgrößen ab.  Die Modellvariante, bei dem die Populationen nicht immer neu initialisiert werden, ist die realistischere Variante.
+\\ Eine Java Bibliothek Daisyworld  (inkl. Sourcecode)  steht (falls gewünscht) zur Verfügung. Die Abbildungen 1 und 2 wurden mit dieser Java-Klasse und dem freien Tool //xmgrace// erstellt.
 ===== Lesetipps =====
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 Dieses interessante  Modell  hat noch nicht ausgedient. Hier eine Liste mit Folgeartikeln, die aufbauend auf dem einfachen 'Daisywold' Modell viele weitere Aspekte der theoretischen Ökologie behandeln:
+|weitere Literatur ||
+|<WRAP>
   * Ackland (2004)
   * Ackland et al (2003)
@@ Zeile 308: / Zeile 358: @@
   * Lapenis (2002)
   * Lenton (1998)
+</WRAP>|<WRAP>
   * Lenton (2002)
   * Lenton & Lovelock (2000)
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   * Williams & Nobel (2005)
   * Zeng (1990)
+</WRAP>|