gravitation_-_planetenbahnen
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| ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte| | | ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte| | ||
|$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ | | |$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ | | ||
- | + | |//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// | |
- | //Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// | + | |
<WRAP center round help 100%> | <WRAP center round help 100%> | ||
Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können. | Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können. | ||
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** | ** | ||
Heuristische Herleitung** | Heuristische Herleitung** | ||
- | {{ : | + | |{{ : |
- | //Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.// | + | |//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.//| |
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Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit | Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit | ||
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|$v_{y_0}$|Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color # | |$v_{y_0}$|Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color # | ||
|Δt|Schrittweite|timeStep|0.005 < | |Δt|Schrittweite|timeStep|0.005 < | ||
- | // | + | |// |
{{: | {{: | ||
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Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen: | Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen: | ||
- | $G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot (\frac{1}{150\cdot 10^9})^3 | + | $G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot(\frac{1}{150\cdot 10^9})^3(2\cdot 10^{30}) |
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Welchen Zahlenwert | Welchen Zahlenwert | ||
\\ | \\ | ||
- | <color # | + | <color # |
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+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ^Gleichung^Bedeutung^ | ||
+ | |$r=\sqrt{x^2+y^2}$ |Abstand Sonne-Planet| | ||
+ | |$v_x(t + \Delta t) = v_x(t) - (G M \frac{x}{r^3}) \Delta t$ |x-Komponente der Geschwindigkeit| | ||
+ | |$v_y(t + \Delta t) = v_y(t) - (G M \frac{y}{r^3}) \Delta t$ |y-Komponente der Geschwindigkeit| | ||
+ | |$x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t $ |x-Komponente des Ortes| | ||
+ | |$y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t$ |y-Komponente des Ortes| | ||
+ | |Tabelle: Gleichungen für die Simulation|| | ||
- | |||
- | Angewandte Informatik | ||
- | ist geschlossen | ||
- | Praktische Informatik | ||
- | ist geschlossen | ||
- | Technische Informatik | ||
- | ist geschlossen | ||
- | Theoretische Informatik | ||
- | ist geschlossen | ||
- | Fächerübergeifender Unterricht | ||
- | ist geschlossen | ||
- | |||
- | Physik | ||
- | Biologie | ||
- | |||
- | Aufgaben & Tests | ||
- | ist geschlossen | ||
- | |||
- | Aufgaben & Tests | ||
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- | Login Form | ||
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- | Benutzername | ||
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- | Passwort | ||
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- | Angemeldet bleiben | ||
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- | Passwort vergessen? | ||
- | Benutzername vergessen? | ||
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- | Gravitation - Planetenbahnen | ||
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- | In diesem Abschnitt wollen wir die Bewegung eines Planeten unter den Einfluss eines Zentralgestirns (der Sonne) modellieren. Die Kräfte, die die beiden Körper aufeinander ausüben, werden durch Newtons Gravitationsgesetz beschrieben. Wir betrachten ein vereinfachtes Modell, bei dem z.B. die große Masse M der Sonne ruht, dennoch sind wir in der Lage anhand dieses Modells z.B. das zweite Keplersche Gesetz zu überprüfen. | ||
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- | Der Abschnitt Einführung in die Numerik sollte bereits behandelt worden sein, um diesen Abschnitt verstehen zu können. Des Weiteren sollte die Behandlung des Inhaltes | ||
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- | Physikalische Grundlagen | ||
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- | Das Gravitationsgesetz | ||
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- | Kräfte sind Vektoren | ||
- | Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Wechselwirkungskraft zwischen zwei Massenpunkten (hier ma und mb). Der vektorielle Charakter der Kraft muss in der Modellierung berücksichtigt werden. | ||
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- | Hier bezeichnet G = 6.67 10-11 m3 kg-1 s-2 die Gravitationskonstante. Wir erwähnen noch, dass die Kraft proportional zum Quadrat des Abstandes (~ 1/r²) ist und dass sie entlang der Verbindungsgeraden der beiden Massen gerichtet ist (das ist eine Eigenschaft, | ||
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- | Die obige Gleichung läßt sich ein wenig vereinfachen, | ||
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- | Dabei ist r/r der Einheitsvektor in Richtung von r. In dieser Form begegnet man dem Gravitationsgesetz häufig. | ||
- | Das 2. Newtonsche Axiom | ||
- | Vollständigkeitshalber notieren wir noch kurz das 2. Newtonsche Axiom. Es besagt, dass Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist. | ||
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- | Implementierung in Java | ||
- | Wir wollen die Bewegung eines Planeten, der um die Sonne kreist, mit Java modellieren. Dafür brauchen wir im Grunde lediglich eine Tabelle, in der die Position (X- und Y-Koordinaten) für verschiedene Zeitpunkte eingetragen ist. Jedes Koordinatenpaar (x|y) wird dann graphisch dargestellt. | ||
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- | X Position | ||
- | Y Position | ||
- | Zeitpunkt | ||
- | x(t0) y(t0) t0 | ||
- | x(t1) y(t1) t1 | ||
- | x(t2) y(t2) t2 | ||
- | ..... ...... ... weitere simulierte Datenpunkte | ||
- | x(tn) y(tn) tn - der letze simulierte Zeitschritt | ||
- | Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn | ||
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- | Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können. | ||
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- | Modellbeschreibung | ||
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- | Die Planetenbahnen werden durch das Newtonsche Gesetz beschrieben. | ||
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- | Die Kraft F besitzt als Vektor drei Komponenten F=(Fx, Fy,Fz). Da die Bewegung aber nur in der Ebene stattfindet, | ||
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- | Die beiden resultierenden Gleichungen für die X- und Y-Komponente der Gravitationskraft lauten dann: | ||
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- | m ax = m dvx/ | ||
- | m ay | ||
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- | Mit ax bezeichnen wir die X-Komponente der Beschleunigung und mit vx wird die X-Komponente der Geschwindigkeit bezeichnet. Dementsprechend ist x die erste Komponente des Vektors r. Entsprechendes gilt auch für die zweite Zeile mit y. | ||
- | Der Abstand des Planeten von der Sonne ist | ||
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- | \[ r= \sqrt{x^2 + y^2} \] | ||
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- | Diese Gleichung diskretisieren wir jetzt, um die Geschwindigkeiten im nächsten Iterationsschritt zu erhalten: | ||
- | vx(t + Δt) = vx(t) - (G M x/r3) Δt | ||
- | vy(t + Δt) = vy(t) - (G M y/r3) Δt | ||
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- | Für die Bahnkoordinaten verwenden wir den Euler-Cromer-Algorithmus | ||
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- | x(t + Δt) = x(t) + vx(t + Δt) Δt | ||
- | y(t + Δt) = y(t) + vy(t + Δt) Δt. | ||
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- | Heuristische Herleitung | ||
- | Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. | ||
- | Die Schrittweite Δt darf nicht zu groß gewählt werden. | ||
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- | Die letzten Gleichungen liefern uns die Positionen (x und y) in Abhändigkeit | ||
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- | Diese Gleichungen benötigen, wie alle Differentialgleichungssysteme, | ||
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- | | ||
- | Die Anfangsbedingungen sind die Orte (Positionen x(0) und y(0)) zum Startzeitpunkt und die Geschwindigkeiten (vx(0), vy(0)). | ||
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- | Der Algorithmus | ||
- | Wir fassen alle benötigten Parameter und Gleichungen noch einmal zusammen, bevor wir einen Algorithmus zur Berechnung der Planetenbahnen angeben. | ||
- | Parameter | ||
- | Bedeutung Parameterbezeichnung in Java | ||
- | Typische Anfangswerte | ||
- | G | ||
- | Gravitationskonstante (6.67 ·10-11 m3kg-1s-2) G | ||
- | 11.802378240000001 | ||
- | M | ||
- | Sonnenmasse | ||
- | 1 | ||
- | r | ||
- | Abstand Sonne - Planeten | ||
- | (für die Erde 1AE = 150 · 106 km). AE ist die Abkürzung für Astronomische Einheit r | ||
- | 1.0 | ||
- | x0 | ||
- | X-Komponenten zum Startzeitpunkt x0 | ||
- | 1.0 | ||
- | y0 | ||
- | Y-Komponenten zum Startzeitpunkt y0 | ||
- | 0.0 | ||
- | vx0 | ||
- | X-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt vx0 | ||
- | 0.0 | ||
- | vy0 Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt vy0 | ||
- | 3.43066 entspricht 29.78 km/s | ||
- | Δt Schrittweite timeStep | ||
- | 0.005 entspricht 1 Tag (d) | ||
- | Tabelle 2: Parameter und deren Bedeutung | ||
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- | Vielleicht beunruhigt es den einen oder anderen, dass die Parameter in der Simulation scheinbar nicht mit denen in der Natur übereinstimmen, | ||
- | |||
- | |||
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- | Zeigen Sie, dass die Gravitationskonstante G in dem gewählten System (Tabelle 2) den Wert 11.802378240000001 annimmt. | ||
- | |||
- | 1 AE = 150·109 m → 1 m = (150·109)-1 AE | ||
- | 1 M | ||
- | = 2·1030 kg → 1 kg = (2·1030)-1 M | ||
- | 1d | ||
- | = 86400 s = 0.005 Δt → 1 s = 0.005/ | ||
- | |||
- | Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen: | ||
- | G = 6.67·10-11 m3 kg-1 s-2 → 6.67·10-11 | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | ghost solution | ||
- | Welchen Zahlenwert | ||
- | 4.84992 | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | Gleichung Bedeutung | ||
- | r = √ (x² + y² ) Abstand Sonne-Planet | ||
- | vx(t + Δt) = vx(t) - (G M x/r3) Δt | ||
- | x-Komponente der Geschwindigkeit | ||
- | vy(t + Δt) = vy(t) - (G M y/r3)Δt y-Komponente der Geschwindigkeit | ||
- | x(t + Δt) = x(t) + vx(t + Δt) Δt x-Komponente des Ortes | ||
- | y(t + Δt) = y(t) + vy(t + Δt) Δt y-Komponente des Ortes | ||
- | Tabelle 3: Gleichungen für die Simulation | ||
- | |||
== Algorithmus == | == Algorithmus == | ||
- | |||
- Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt) | - Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt) | ||
- Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem. | - Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem. | ||
- Berechne den Abstand Sonne-Planet. | - Berechne den Abstand Sonne-Planet. | ||
- | - Berechne die Geschwindigkeiten $v_x$ und $v_y4 für den nächsten Zeitschritt. | + | - Berechne die Geschwindigkeiten $v_x$ und $v_y$ für den nächsten Zeitschritt. |
- Berechne mit dem **Euler-Cromer-Algorithmus** die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt. | - Berechne mit dem **Euler-Cromer-Algorithmus** die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt. | ||
- Zeichne die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem | - Zeichne die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem | ||
- Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde. | - Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde. | ||
+ | |||
gravitation_-_planetenbahnen.1705163836.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/13 16:37 von torsten.roehl