sierpinski-dreieck
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sierpinski-dreieck [2024/01/20 18:55] – [Sierpinski-Dreieck] torsten.roehl | sierpinski-dreieck [2024/01/21 07:55] (aktuell) – [Dimension] torsten.roehl | ||
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Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde. | Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde. | ||
===== Konstruktionsprinzip ===== | ===== Konstruktionsprinzip ===== | ||
- | Es gibt eine Reihe von Möglichketien | + | <WRAP center round info 100%> |
+ | Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, | Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, | ||
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* **n** ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck) | * **n** ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck) | ||
+ | |\( A = \frac{a^2} {4} \sqrt{3}\)|{{: | ||
+ | | Ergebnis: | Der Flächeninhalt geht für großes **n** gegen **0**. || | ||
+ | | |\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right) = 0\) || | ||
====Umfang | ====Umfang | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * **a** ist die Kantenlänge des Dreiecks | ||
+ | * **n** ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck) | ||
+ | |||
+ | | \( U = 3 a \)|{{: | ||
+ | | Ergebnis: | Der Umfang geht für großes **n** gegen **unendlich**. || | ||
+ | | |\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)= \infty\) | ||
+ | |||
+ | <note tip> | ||
+ | Eine einfache Herleitung für Fläche und Umfang des Sierpinski-Dreiecks gibt es hier | ||
+ | * http:// | ||
+ | * ☛ [[download_links|Downloads]] | ||
+ | </ | ||
==== Dimension ==== | ==== Dimension ==== | ||
+ | Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit " | ||
+ | |||
+ | <note important> | ||
+ | **Definition: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | |||
+ | * **V**: Veränderungsfaktor | ||
+ | * **A**: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen | ||
+ | * **D**: Dimension | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | oder aufgelöst nach der Dimension | ||
+ | |||
+ | Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele. | ||
+ | |||
+ | ** | ||
+ | Ziel ist es mit Hilfe dieser Definition die Dimension des Sierpinski-Dreickecks berechnen zu können.** | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === D=1 (Linie) ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | \\ \\ | ||
+ | Von einer Strecke wissen wir, das sie die Dimension D=1 besitzt. Überprüfen wir also die Hausdorf-Definition an diesem uns vertrauten Beispiel. | ||
+ | |||
+ | Wenn wir die Strecke verdoppeln (V=2), dann verändert sich auch die Anzahl selbstähnlicher Teilchen von hier ursprünglich eins auf A=2. \\ Die Definition liefert dann: | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 2}{ln 2} = 1 \). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Hier wurde verdreifacht, | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 3} = 1 \). | ||
+ | |||
+ | Es ist also nicht von vornherein festgelegt was A ist oder welchen Faktor man für V wählen muss. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === D=2 (Fläche) ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Wir erwarten, das wir für die Ebene eine Hausdorf-Dimension von D=2 herausbekommen. \\ Der Veränderungsfaktor ist hier V=2 (z.B. wird die untere Strecke verdoppelt). Von ursprüngliche einen Quadrat liegen jetzt vier der selbstähnlichen Teile vor, also ist A=4. | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 4}{ln 2} = 2 \). | ||
+ | ---- | ||
+ | === D=3 (Raum) ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Im Raum sollte D=3 herauskommen. | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln ?}{ln ?} = 3 \). | ||
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+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === Sierpinski-Dreick ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | \\ \\ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round tip 100%> | ||
+ | {{: | ||
+ | ...aber erst einmal selber probieren ;-) | ||
+ | [[Solution-Sierpinski-Triangle]] \\ | ||
+ | </ | ||
+ | ---- | ||
+ | === Koch-Kurve ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | ** | ||
+ | {{ : | ||
+ | \\ | ||
+ | <WRAP center round tip 100%> | ||
+ | {{: | ||
+ | ...aber erst einmal selber probieren ;-) \\ | ||
+ | Diese Kurve heißt Koch-Kurve, machen Sie eine Internet Recherche. | ||
+ | </ | ||
sierpinski-dreieck.1705776931.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/20 18:55 von torsten.roehl