sierpinski-dreieck
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sierpinski-dreieck [2024/01/21 07:19] – [Dimension] torsten.roehl | sierpinski-dreieck [2024/01/21 07:55] (aktuell) – [Dimension] torsten.roehl | ||
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==== Dimension ==== | ==== Dimension ==== | ||
+ | Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit " | ||
+ | <note important> | ||
+ | **Definition: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | * **V**: Veränderungsfaktor | ||
+ | * **A**: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen | ||
+ | * **D**: Dimension | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | oder aufgelöst nach der Dimension | ||
+ | |||
+ | Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele. | ||
+ | |||
+ | ** | ||
+ | Ziel ist es mit Hilfe dieser Definition die Dimension des Sierpinski-Dreickecks berechnen zu können.** | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === D=1 (Linie) ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | \\ \\ | ||
+ | Von einer Strecke wissen wir, das sie die Dimension D=1 besitzt. Überprüfen wir also die Hausdorf-Definition an diesem uns vertrauten Beispiel. | ||
+ | |||
+ | Wenn wir die Strecke verdoppeln (V=2), dann verändert sich auch die Anzahl selbstähnlicher Teilchen von hier ursprünglich eins auf A=2. \\ Die Definition liefert dann: | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 2}{ln 2} = 1 \). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Hier wurde verdreifacht, | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 3} = 1 \). | ||
+ | |||
+ | Es ist also nicht von vornherein festgelegt was A ist oder welchen Faktor man für V wählen muss. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === D=2 (Fläche) ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Wir erwarten, das wir für die Ebene eine Hausdorf-Dimension von D=2 herausbekommen. \\ Der Veränderungsfaktor ist hier V=2 (z.B. wird die untere Strecke verdoppelt). Von ursprüngliche einen Quadrat liegen jetzt vier der selbstähnlichen Teile vor, also ist A=4. | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 4}{ln 2} = 2 \). | ||
+ | ---- | ||
+ | === D=3 (Raum) ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Im Raum sollte D=3 herauskommen. | ||
+ | |||
+ | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln ?}{ln ?} = 3 \). | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === Sierpinski-Dreick ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | \\ \\ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <WRAP center round tip 100%> | ||
+ | {{: | ||
+ | ...aber erst einmal selber probieren ;-) | ||
+ | |||
+ | [[Solution-Sierpinski-Triangle]] \\ | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | === Koch-Kurve ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | ** | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | <WRAP center round tip 100%> | ||
+ | {{: | ||
+ | ...aber erst einmal selber probieren ;-) \\ | ||
+ | Diese Kurve heißt Koch-Kurve, machen Sie eine Internet Recherche. | ||
+ | </ | ||
sierpinski-dreieck.1705821563.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/21 07:19 von torsten.roehl