Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieck (beschrieben 1915 von Waclaw Sierpinski ) ist ein sogennantes Fraktal.  Fraktale haben gebrochene Dimensionen, für das Sierpinski-Dreick gilt, dass es mehr als eine Linie aber weniger als eine Fläche ist. Wie wir sehen werden, kommen noch andere werkwürdigkeiten hinzu, wollten Sie es zum Beispiel anmalen, benötigen Sie keine Farbe, da der Flächenanteil des Dreicks gegen null stebt.

  Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde.

Konstruktionsprinzip

Es gibt eine Reihe von Möglichketien das Sierpinski-Dreieck zu erzeugen. Eine Variante (Chaos-Spiel) befindet sich im Java Aufgabenteil (eine weitere Interesannte Konstruktionsmöglichkeit ergibt sich, wenn man Zellular-automaten zu Hilfe nimmt).

Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, wenn man die Verfahren unendlich oft wiederholt (iteriert).

 

Mit zunehmender Iterationsfiefe (hellgrün → dunkelgrün)  wird das Sierpinski-Dreieck immer besser erkennbar. Hier wurden fünf Iterationen dargestellt.

Schauen Sie sich die Grafik so lange an, bis Sie ein mögliches Konstruktionsprinzip erkennen und erklären können.

 

Im weiteren werden drei wichtige Eigenschaften des Dreieck aufgezeigt:

  • Flächeninhalt
    • Der Flächeninhalt ist null, d.h. um es anzumalen wird keine Farbe benötigt.
  • Umfang
    • Der Umfang ist unendlich. Niemand kann in endlicher Zeit um das Dreick wandern.
  • Dimension
    • Die Dimenstion ist D=1,5850 und damit größer als eine Linie (D=1) und kleiner als eine Fläche (D=2).