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--- aufgabenbeispiel [2024/01/21 09:44] – [Algorithmus (um Bilder wieder zu erkennen)] torsten.roehl
+++ aufgabenbeispiel [2024/01/21 09:55] (aktuell) – [Algorithmus (um Bilder wieder zu erkennen)] torsten.roehl
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-Das Netz soll zuerst eine Anzahl von Bildern speichern. Anschließend soll das Netz dann in der Lage sein, ein verrauschtes, also fehlerbehaftetes Bild, zu rekonstruieren.
+**Das Netz soll zuerst eine Anzahl von Bildern speichern. Anschließend soll das Netz dann in der Lage sein, ein verrauschtes, also fehlerbehaftetes Bild, zu rekonstruieren.
+**
+\\ \\
 Dazu betrachten wir Bilder mit lediglich zwei Farben (//binäre Bilder//).  Die Aktivität der Neuronen wird damit farblich codiert. Beispielsweise könnte weiß für Neuron **-1** (inaktiv) und schwarz für Neuron **1** (aktiv) stehen.
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 ===== Algorithmus (um Bilder wieder zu erkennen) =====
+Damit man überhaupt Bilder wiedererkennen kann, müssen diese zuvor natürlich erst gelernt werden. Nach dem Lernen können wir dem Netzwerk jedoch ein verrauschtes, das heißt fehlerbehaftetes Bild präsentieren und es iterativ wieder rekonstruieren.
+Das Hopfield-Netz verwendet die Schwellenwertfunktion als Aktivierungsfunktion:
+\begin{equation}
+     f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 : & x\geq 0 \\
+: & x < 0\end{array}\right.
+ \end{equation}
-Damit man überhaupt Bilder wiedererkennen kann, müssen diese zuvor natürlich erst gelernt worden sein. Nach dem Lernen können wir aber dem Netzwerk ein verrauschtes, d.h. fehlerbehaftetes Bild präsentieren und es iterativ wieder rekonstruieren.
-Das Hopfield-Netz verwendet die Schwellenwertfunktion als Aktivierungsfunktion:
-Entscheidener Schritt ist die Berechnung des Produktes aus der Matrix W und dem Bildvektor VALT. Dieser Schritt ist im Abschnitt "Lernen in Hopfield-Netzen" beschrieben.
+Entscheidener Schritt ist die Berechnung des Produktes aus der Matrix W und dem Bildvektor $V_{\text{ALT}}$. Dieser Schritt ist im Abschnitt "Lernen in Hopfield-Netzen" beschrieben.
-Es gilt VNEU = W · VALT oder etwas mathematischer:  \[ V_{n+1} = W \cdot V_n \]
+Es gilt $V_{\text{NEU}} = W \cdot V_{\text{ALT}}$ oder etwas mathematischer:  \[ V_{n+1} = W \cdot V_n \]
-Hier ist n der n-te Iterationsschritt bei der Rekonstuktion des Bildes. Anschließend muss noch die Aktivierungsfunktion auf das Ergebnis angewandt werden:
+Hier ist n der n-te Iterationsschritt bei der Rekonstruktion des Bildes. Anschließend muss noch die Aktivierungsfunktion auf das Ergebnis angewandt werden:
-\[ f(V_{n+1}) \].  Damit erhalten wir die Aktivität der Neuronen (feuern 1 oder nicht feuern -1),  in unserem Fall entspricht das einem Bild.
+\[ f(V_{n+1}) \]
+Damit erhalten wir die Aktivität der Neuronen (sie feuern mit 1 oder nicht mit -1), und in unserem Fall entspricht das einem Bild.
-Der Algorithmus um ein Bild zu rekonsturieren lautet nun:
+**
+Der Algorithmus um ein Bild zu rekonstruieren lautet nun:**
-    Präsentiere dem Netz ein verrauschtes Bild  Vn  mit n = 0.
+  - Präsentiere dem Netz ein verrauschtes Bild  $V_n$  mit $n = 0$.
-    Berechne Vn+1 = W · Vn
+  - Berechne $V_{n+1} = W  \cdot V_n$
-    Berechne f(Vn+1) und damit das rekonstruierte Bild im Iterationsschritt n+1
+  - Berechne $f(V_{n+1})$ und damit das rekonstruierte Bild im Iterationsschritt $n+1$
-    Wiederhole ab Schritt 2, bis  f(Vn+1) = f(Vn)
+  - Wiederhole ab Schritt 2, bis  $f(V_{n+1}) = f(V_n)$