Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- bilder_rotieren [2024/01/20 11:23] – [Herleitung der Transformationsgleichung:] torsten.roehl
+++ bilder_rotieren [2024/02/07 08:23] (aktuell) – torsten.roehl
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-|FIXME|FIXME|
+| {{ :inf:java:smiley00.png?150 |}} |{{ :inf:java:smiley45.png? |}}|
-|Das originale Bild ist hier Quadratisch FIXME.|Das Bild wurde um 45° Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht.Damit das komplette Bild sichtbar ist muss es jetzt FIXME  groß sein. |
+|Das originale Bild ist hier Quadratisch mit ''222x222'' Pixeln.|Das Bild wurde um 45° Grad im Uhrzeigersinn gedreht. Damit das komplette Bild sichtbar ist muss es jetzt ''314x314'' Pixel  groß sein. |
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 \begin{equation}  \color{blue}{p\prime_x} = cos(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} - sin(\varphi) \cdot \color{red}{p_y}  \\  \color{blue}{p\prime_y} = sin(\varphi)\cdot \color{red}{p_x} + cos(\varphi) \cdot \color{red}{p_y} \end{equation}
-==== Beispiel ====
+{{:inf:sample.gif?|}}
 <WRAP center round box 100%>
-**Aufgabe:**\\
+{{:inf:aufgabe.gif?|}}
 Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um **40°**, wenn der alte Bildpunkt **P(10,30)** ist?\\
-**Lösung:**\\
+{{:inf:solution.gif?|}}
 Für den Sinus und Cosinus ergibt sich:
   * sin(40°)=0,643
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 Um Bilder zu rotieren, müssen grundsätzlich folgende Schritte abgearbeitet werden. Wir gehen hier davon aus, dass das Bild um seine Bildmitte rotiert werden soll.
-  - Vom zu rotierenden Bild<color #ff7f27> $\text{Bild}_{\text{ALT}}$</color> werden die  Größe (Breite und Höhe) ermittelt.
+  - Vom zu rotierenden Bild<color #ff7f27> $\text{Bild}_{\text{ALT}}$</color> wird die  Größe (Breite und Höhe) ermittelt.
   - Ein leeres Bild <color #7092be>$\text{Bild}_{\text{NEU}}$</color> wird erzeugt.
       * Die neue Größe kann aus der alten Größe ermittelt werden!
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 Mit **toScreen** bezeichnen wir eine Java-Methode, die (mathematisch) kartesische Koordinaten in Bildkoordinaten transformiert.
-  * Bildkoordinaten haben ihren Ursprung (0|) oben links und  besitzen nur positive integer Werte
+  * Bildkoordinaten haben ihren Ursprung (0|0) oben links und  besitzen nur positive integer Werte
 ===== Herleitung der Transformationsgleichung: =====
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-Bilder Rotieren
-      	Dieser Abschnitt zeigt wie sich Bilder um einen beliebigen Winkel φ (sprich PHI) rotieren lassen.
-    Rotation (lat. rotatio: Drehung)
-Wenn Bilder um einen Winkel φ gedreht (rotiert) werden sollen, muss beachtet werden, dass das rotierte Bild eventuell größer als das orginale Bild werden kann.
-orginal todo 	gedrehtes Bild todo
-Das orginale Bild ist hier Quadratisch todoxtodo. 	Das Bild wurde um 45° Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
-Damit das komplete Bild sichtbar ist muss es jetzt todoxtodo groß sein.
-    Wenn Bilder gedreht werden, ist das Drehzentrum in der Regel der Mittelpunkt des Bildes
-    Der wichtgste Parameter bei der Rotation ist der Drehwinkel φ. Die Drehung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
-    In Java werden die Drehwinkel nicht in Grad, sondern in Rad angegeben. Es gilt 360° = 2 Π rad. Winkel werden also nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß verwendet.
-Für die Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß gilt die Beziehung:
-Die Transformationsgleichung für die Rotation
-Bei der Rotation wird jeder Bildpunkt P(x|y) des Orginalbildes in einen neuen Bildpunkt P´(x|y) überführt.
-    mit altem Bildpunkt P( px | py ) bezeichnen wir die Bildpunkte des orginalen Bildes.
-    mit neuem Bildpunkt P' ( p´x | p´y ) werden die transformierten Bildpunkte bezeichnet (P´ lies P Strich).
-Gesucht ist eine Transformation, die ausgehend von dem alten Bildpunkt, sowie dem gewünschen Drehwinkel, einen neuen Bildpunkt berechnet.
-neuer Bildpunkt = Transformation R(φ) · alter Bildpunkt
-    R(φ) ist die sogennante Transformationsmatrix um den Winkel φ
-Wir werden an dieser Stelle die Transformation gleich angeben und zeigen, wie man mit ihr arbeitet. Eine Herleitung dieser Gleichungen ist weiter unten angegeben.
-Die gesuchten Transformationgleichungen sind:
-p´x = cos(φ) · px - sin(φ) · py
-p´y = sin(φ) · px + cos(φ) · py
-Wie lauten die Koordinaten des neuen Bildpunktes bei einer Drehung um 40°, wenn der alte Bildpunkt P(10,30) ist?
-Für den Sinus und Cosinus ergibt sich:
-sin(40°)=0,643
-cos(40°)=0.766
-Eingesetzt in die Transformationsformeln ergibt sich:
-px´ = 0.766·10 - 0,643·30 = -11,63
-py´ = 0,643·10 + 0,766·30 = 29,41
-Die neuen Koordinaten sind damit P´( -11,63 | 29,41 ).
-Die folgende Java Methode benutzt die Java Klasse Point, um die Transformation zu berechnen.
-public Point rotation(Point point, double angle){
-      Point result = new Point();
-      double c = Math.cos(angle);
-      double s = Math.sin(angle);
-      result.x = c*point.x - s*point.y;
-      result.y = s*point.x + c*point.y;
-      return result;
-}
-orginal bild 	rotiertes bild
-Orginal. 	Das um xx Grad gedrehte Bild.
-Herleitung der Transformationsgleichung:
 Wir leiten jetzt die im vorherigen Abschnitt angegeben Transformationsgleichungen her.
-Voraussetzungen
+==== Voraussetzungen ====
-Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt.
-Sie lauten:
-cos(φ + α ) = cos(φ)·cos(α) - sin(φ)·sin(α)
+Damit die Herleitung nachvollzogen werden kann, werden lediglich die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus benötigt.
-sin(φ + α ) = sin(φ)·cos(α) + cos(φ)·sin(α)
+  * cos(φ + α ) = cos(φ)·cos(α) - sin(φ)·sin(α)
+  * sin(φ + α )  = sin(φ)·cos(α) + cos(φ)·sin(α)
+Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es  aber ausreichend, sie in das Gedächtnis gerufen zu haben.
-Eine einfache Herleitung dieser Formel kann mit Hilfe der komplexen Zahlen (Eulerformel) erfolgen. Für unsere Zwecke ist es ausreichend, sie in das Gedächtnis gerufen zu haben.
 ==== Herleitung ====
+|{{:inf:java:rot2d.png?320|}} | {{:inf:java:cossin.png?170|}}|
+|Der rote Punkt wird bei einer Drehung um den Winkel φ in den blauen Punkt überführt (transformiert). |Die oben stehenden Formeln lassen sich direkt aus dem Bild ablesen. \\ **Schauen Sie sich beides solange an, bis ihnen das gelingt!** |
+|<WRAP>Ausgehend von den Addtionstheoremen für Cosinus und Sinus, werden zuerst cos(α) bzw. sin(α) durch ihre rechten Seiten ersetzt.\\ \\  Jetzt ersetzen wir
+sin(φ+α) bzw. cos(φ+α) durch ihre rechten Seiten. \\ \\ \\ \\ Der Radius r kürzt sich heraus.</WRAP> | {{:inf:java:herleitung.png?330|}}|
+| Damit sind die oben angegebenen Transformationsgleichungen gefunden. :-) ||