Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 16:22] – [Algorithmus] torsten.roehl
+++ gravitation_-_planetenbahnen [2024/01/13 17:37] (aktuell) – torsten.roehl
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 | ..... | ..... | ... weitere simulierte Datenpunkte|
 |$x(t_n$)| $y(t_n)$| $t_n$ |
+|//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn// |||
-//Tabelle 1: Fiktive Tabelle zur Darstellung der Planetenbahn//
 <WRAP center round help 100%>
 Es stellt sich also die Frage, wie wir die benötigten Koordinaten erzeugen können.
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 Heuristische Herleitung**
-{{ :inf:diffquotient.png? |}}
+|{{ :inf:diffquotient.png? |}}|
-//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.//
+|//Die Diskretisierung entspricht einem Übergang vom Differentialquotienten zum Differenzenquotienten. Die Schrittweite Δt darf dabei nicht zu groß gewählt werden.//|
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 Die letzten Gleichungen (Gl. 8 und Gl. 9) liefern uns die Positionen (x und y) in Abhängigkeit  einer gewählten Schrittweite (Δt).
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 |$v_{y_0}$|Y-Komponente der Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt|vy0|3.43066 <color #c3c3c3>entspricht 29.78 km/s</color>|
 |Δt|Schrittweite|timeStep|0.005	<color #c3c3c3>entspricht 1 Tag (d)</color>|
-//Tabelle:  Parameter und deren Bedeutung//
+|//Tabelle:  Parameter und deren Bedeutung//||||
 {{:inf:hinweis.gif?|}}
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 {{:inf:solution.gif?|}}
-|1 AE|=	150·109 m|→ 1 m 	|= (150·109)-1 AE|
+|1 AE|=	$150\cdot 10^9$ m|→ 1 m = $\frac{1}{150\cdot 10^9}$ AE|
-|1 M|= 	2·1030 kg|→ 1 kg 	|= (2·1030)-1 M|
+|1 M|= 	$2\cdot 10^{30}$ kg|→ 1 kg = $\frac{1}{2\cdot 10^{30}}$ M|
-|1d|= 	86400 s = 0.005 Δt|→ 1 s |=0.005/86400 Δt|
+|1d|= 	86400 s = 0.005 Δt|→ 1 s =$\frac{0.005}{86400}$ Δt|
 Den neuen Zahlenwert erhalten wir durch Einsetzen:
-$G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11}  ( (150\cdot 10^9)^{-1})s^3  (2\cdot 10^{30})  ( \frac{0.005}{86400})^{-2} = 11.802378240000001$
+$G = 6.67 \cdot 10^{-11}\cdot \frac{ m^3}{ kg \cdot s^{2}} \rightarrow \\ 6.67\cdot10^{-11} \cdot(\frac{1}{150\cdot 10^9})^3(2\cdot 10^{30})  ( \frac{0.005}{86400})^{-2} = 11.802378240000001$
+{{:inf:uebung.gif?|}}
+Welchen Zahlenwert  nimmt  in diesem System eine Geschwindigkeit von 42.1 km/s (das ist die sogenannte 3. kosmische Geschwindigkeit)  an?
+\\
+<color #c3c3c3>ghost solution</color><color #ffffff>4.84992</color>
+\\
+\\
+\\
+^Gleichung^Bedeutung^
+|$r=\sqrt{x^2+y^2}$ |Abstand Sonne-Planet|
+|$v_x(t + \Delta t) = v_x(t) - (G  M \frac{x}{r^3}) \Delta t$ |x-Komponente der Geschwindigkeit|
+|$v_y(t + \Delta t) = v_y(t) - (G M \frac{y}{r^3}) \Delta t$ |y-Komponente der Geschwindigkeit|
+|$x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t + \Delta t) \Delta t $ |x-Komponente des Ortes|
+|$y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t + \Delta t) \Delta t$ |y-Komponente des Ortes|
+|Tabelle: Gleichungen für die Simulation||
+== Algorithmus ==
+  - Wähle geeignete Startbedingungen und initialisiere alle Parameter (insbesondere die Schrittweite Δt)
+  - Zeichne die Position x(0) und y(0) in ein geeignetes Koordinatensystem.
+  - Berechne den Abstand Sonne-Planet.
+  - Berechne die Geschwindigkeiten $v_x$  und $v_y$  für den nächsten Zeitschritt.
+  - Berechne mit dem **Euler-Cromer-Algorithmus** die Positionen von x und y zum nächsten Zeitschritt.
+  - Zeichne die ermittelten Positionen x und y in ein geeignetes Koordinatensystem
+  - Wiederhole ab Schritt 3. bis das Programm abgebrochen wird oder die gewünschte Zahl an Iterationen erreicht wurde.