Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- sierpinski-dreieck [2024/01/20 18:58] – [Flächeninhalt] torsten.roehl
+++ sierpinski-dreieck [2024/01/21 07:55] (aktuell) – [Dimension] torsten.roehl
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   * **n** ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck)
-| |{{:inf:ki:dreieck_s.png?|}}| |
+|\( A = \frac{a^2} {4} \sqrt{3}\)|{{:inf:ki:dreieck_s.png?400|}}| \( A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right)\)|
+| Ergebnis: | Der Flächeninhalt geht für großes **n** gegen **0**. ||
+| |\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right) = 0\) ||
+====Umfang  ====
-====Umfang  ====
+  * **a** ist die Kantenlänge des Dreiecks
+  * **n** ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck)
+| \( U = 3 a \)|{{:inf:ki:dreieck_s.png?400|}}| \( U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)\)|
+| Ergebnis: | Der Umfang geht für großes **n** gegen **unendlich**. ||
+| |\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)= \infty\)  ||
+<note tip>
+Eine einfache Herleitung für Fläche und Umfang des Sierpinski-Dreiecks gibt es hier
+  * http://www.3d-meier.de/tut10/Seite1.html
+  * ☛ [[download_links|Downloads]]
+</note>
 ==== Dimension ====
+Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit "Dimensionen" zu definieren. Für unsere Zwecke aber sehr nützlich:
+<note important>
+**Definition:** \\  **(Hausdorf-Dimension)**
+\begin{equation}  V^D=A  \end{equation}
+  * **V**: Veränderungsfaktor
+  * **A**: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen
+  * **D**: Dimension
+</note>
+oder aufgelöst nach der Dimension   \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} \).
+Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele.
+**
+Ziel ist es mit Hilfe dieser Definition die Dimension des Sierpinski-Dreickecks berechnen zu können.**
+----
+=== D=1 (Linie) ====
+{{:inf:sample.gif?|}}
+{{ :inf:ki:dim_1a.png? |}}
+\\ \\
+Von einer Strecke wissen wir, das sie die Dimension D=1 besitzt. Überprüfen wir also die Hausdorf-Definition an diesem uns vertrauten Beispiel.
+Wenn wir die Strecke verdoppeln (V=2), dann verändert sich auch die Anzahl selbstähnlicher Teilchen von hier ursprünglich eins auf A=2. \\ Die Definition liefert dann:
+\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 2}{ln 2} = 1 \).
+{{ :inf:ki:dim_1b.png? |}}
+\\ \\
+Hier wurde verdreifacht, d.h. es gilt V=3.  Außerdem gilt A=3, denn als selbstähliches Gebilde haben wir hier zwei kurze Striche genommen.
+\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 3} = 1 \).
+Es ist also nicht von vornherein festgelegt was A ist oder welchen Faktor man für V wählen muss.
+----
+=== D=2 (Fläche) ====
+{{:inf:sample.gif?|}}
+{{ :inf:ki:dim2a.png? |}}
+\\ \\
+Wir erwarten, das wir für die Ebene eine Hausdorf-Dimension von D=2 herausbekommen. \\ Der Veränderungsfaktor ist hier V=2 (z.B. wird die untere Strecke verdoppelt). Von ursprüngliche einen Quadrat liegen jetzt vier der selbstähnlichen Teile vor, also ist A=4.
+\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 4}{ln 2} = 2 \).
+----
+=== D=3 (Raum) ====
+{{:inf:sample.gif?|}}
+{{ :inf:ki:dim3ab.png? |}}
+\\ \\
+Im Raum sollte D=3 herauskommen.
+\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln ?}{ln ?} = 3 \).
+{{:inf:aufgabe.gif?|}} **Rechnen Sie Beispiel A und B durch.**
+----
+=== Sierpinski-Dreick ====
+{{:inf:uebung.gif?|}}  **Welche Dimension hat das Sierpinski-Dreieck?**
+{{:inf:tipp.gif?|}} Überlegen Sie sich, welche Werte die Faktoren ** V** und **A** besitzen.
+{{ :inf:ki:b_sdreieck.gif? |}}
+\\ \\
+<WRAP center round tip 100%>
+{{:inf:solution.gif?|}}
+...aber erst einmal selber probieren ;-)
+[[Solution-Sierpinski-Triangle]] \\
+</WRAP>
+----
+=== Koch-Kurve ====
+{{:inf:uebung.gif?|}} **Welche Dimension besitzt die folgende Kurve?
+**
+{{ :inf:ki:koch.png? |}}
+\\
+<WRAP center round tip 100%>
+{{:inf:solution.gif?|}}
+...aber erst einmal selber probieren ;-) \\
+Diese Kurve heißt Koch-Kurve, machen Sie eine Internet Recherche.
+</WRAP>