Das Sierpinski-Dreieck, 1915 von Waclaw Sierpinski beschrieben, ist ein sogenanntes Fraktal. Fraktale haben gebrochene Dimensionen, und für das Sierpinski-Dreieck gilt, dass es mehr als eine Linie, aber weniger als eine Fläche ist. Wie wir sehen werden, kommen noch andere Merkwürdigkeiten hinzu. Wollten Sie es zum Beispiel anmalen, benötigen Sie keine Farbe, da der Flächenanteil des Dreiecks gegen null strebt.

Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde.

Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, wenn man die Verfahren unendlich oft wiederholt (iteriert).

Mit zunehmender Iterationsfiefe (hellgrün → dunkelgrün) wird das Sierpinski-Dreieck immer besser erkennbar. Hier wurden fünf Iterationen dargestellt.

Schauen Sie sich die Grafik so lange an, bis Sie ein mögliches Konstruktionsprinzip erkennen und erklären können.

Im weiteren werden drei wichtige Eigenschaften des Dreieck aufgezeigt:

• Flächeninhalt
  • Der Flächeninhalt ist null, d.h. um es auszumalen wird keine Farbe benötigt.

• Umfang
  • Der Umfang ist unendlich. Niemand kann in endlicher Zeit um das Dreieck wandern.

• Dimension
  • Die Dimension ist D=1,5850 und damit größer als eine Linie (D=1) und kleiner als eine Fläche (D=2).

• a ist die Kantenlänge des Dreiecks
• n ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck)

\( A = \frac{a^2} {4} \sqrt{3}\)		\( A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right)\)
Ergebnis:	Der Flächeninhalt geht für großes n gegen 0.
	\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right) = 0\)

• a ist die Kantenlänge des Dreiecks
• n ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreieck)

\( U = 3 a \)		\( U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)\)
Ergebnis:	Der Umfang geht für großes n gegen unendlich.
	\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)= \infty\)

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Das Sierpinski-Dreieck (beschrieben 1915 von Waclaw Sierpinski ) ist ein sogennantes Fraktal. Fraktale haben gebrochene Dimensionen, für das Sierpinski-Dreick gilt, dass es mehr als eine Linie aber weniger als eine Fläche ist. Wie wir sehen werden, kommen noch andere werkwürdigkeiten hinzu, wollten Sie es zum Beispiel anmalen, benötigen Sie keine Farbe, da der Flächenanteil des Dreicks gegen null stebt.

Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde.

Konstruktionsprinzip

Es gibt eine Reihe von Möglichketien das Sierpinski-Dreieck zu erzeugen. Eine Variante (Chaos-Spiel) befindet sich im Java Aufgabenteil (eine weitere Interesannte Konstruktionsmöglichkeit ergibt sich, wenn man Zellular-automaten zu Hilfe nimmt).

Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, wenn man die Verfahren unendlich oft wiederholt (iteriert).

Mit zunehmender Iterationsfiefe (hellgrün → dunkelgrün) wird das Sierpinski-Dreieck immer besser erkennbar. Hier wurden fünf Iterationen dargestellt.

Schauen Sie sich die Grafik so lange an, bis Sie ein mögliches Konstruktionsprinzip erkennen und erklären können.

Im weiteren werden drei wichtige Eigenschaften des Dreieck aufgezeigt:

  Flächeninhalt
      Der Flächeninhalt ist null, d.h. um es anzumalen wird keine Farbe benötigt.

  Umfang
      Der Umfang ist unendlich. Niemand kann in endlicher Zeit um das Dreick wandern.

  Dimension
      Die Dimenstion ist D=1,5850 und damit größer als eine Linie (D=1) und kleiner als eine Fläche (D=2).

Flächeninhalt

  a ist die Kantenlänge des Dreiecks
  n ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreick)

\( A = \frac{a^2} {4} \sqrt{3}\)

 \( A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right)\)

Ergebnis:

Der Flächeninhalt geht für großes n gegen 0.

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right) = 0\)

Umfang \( U = 3 a \)

 \( U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)\)

Ergebnis:

Der Umfang geht für großes n gegen unendlich.

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)= \infty\)

Eine einfache Herleitung für Fläche und Umfang des Sierpinskidreiecks gibt es bei

http://www.3d-meier.de/tut10/Seite1.html

Dimension

Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit „Dimensionen“ zu definieren. Für unsere Zwecke aber sehr nützlich:

\( V^D=A \)

  V: Veränderungsfaktor
  A: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen
  D: Dimension

oder aufgelöst nach der Dimension \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} \).

Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele.