sierpinski-dreieck
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sierpinski-dreieck [2024/01/21 07:18] – [Dimension] torsten.roehl | sierpinski-dreieck [2024/01/21 07:55] (aktuell) – [Dimension] torsten.roehl | ||
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==== Dimension ==== | ==== Dimension ==== | ||
+ | Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit " | ||
+ | <note important> | ||
+ | **Definition: | ||
+ | \begin{equation} | ||
- | Angewandte Informatik | + | * **V**: Veränderungsfaktor |
- | ist geschlossen | + | * **A**: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen |
+ | * **D**: Dimension | ||
+ | </ | ||
- | Office Pakete | + | oder aufgelöst nach der Dimension |
- | Office Anwendungen | + | |
- | Datenbanken | + | |
- | Bildverarbeitung | + | |
- | Bildverarbeitung | + | |
- | MSR (Messen Steuern Regeln) und Robotik | + | |
- | Hardware-Überlebensregeln | + | |
- | Lego Roboter | + | |
- | Beispiele der LEJOS Bibliothek | + | |
- | Ein neuronales Netz für den NXT Roboter | + | |
- | Mikrocontroller IO-Warrior | + | |
- | Android Programmierung | + | |
- | Raspberry Pi | + | |
- | Softcomputing/ | + | |
- | IFS - Iterierte Funktionensysteme | + | |
- | Sierpinski-Dreieck | + | |
- | ..Neuronale Netze | + | |
- | Was sind neuronale Netze? | + | |
- | Hopfield-Netze | + | |
- | Grundlagen zu Hopfield-Netzen | + | |
- | Hopfield-Netz in Aktion | + | |
- | Praktische Informatik | + | Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele. |
- | ist geschlossen | + | |
- | Java | + | ** |
- | Java Grundlagen | + | Ziel ist es mit Hilfe dieser Definition die Dimension |
- | Java Applet | + | |
- | Java & Datenbanken | + | |
- | Java & Bildverarbeitung | + | |
- | Hardware & Betriebssysteme | + | |
- | Funktionsprinzip | + | |
- | Betriebssystemarchitektur | + | |
- | Linux | + | |
- | Linux Essentials | + | |
- | Linux - Grundlagen | + | |
- | Technische Informatik | ||
- | ist geschlossen | ||
- | Theoretische Informatik | ||
- | ist geschlossen | ||
- | Fächerübergeifender Unterricht | ||
- | ist geschlossen | ||
- | Physik | + | ---- |
- | | + | === D=1 (Linie) ==== |
+ | {{: | ||
- | Aufgaben & Tests | + | {{ : |
- | ist geschlossen | + | \\ \\ |
+ | Von einer Strecke wissen wir, das sie die Dimension D=1 besitzt. Überprüfen wir also die Hausdorf-Definition an diesem uns vertrauten Beispiel. | ||
- | Aufgaben & Tests | + | Wenn wir die Strecke verdoppeln (V=2), dann verändert sich auch die Anzahl selbstähnlicher Teilchen von hier ursprünglich eins auf A=2. \\ Die Definition liefert dann: |
- | Login Form | + | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 2}{ln 2} = 1 \). |
- | Benutzername | ||
- | Passwort | ||
- | Angemeldet bleiben | + | {{ : |
- | Passwort vergessen? | + | \\ \\ |
- | | + | Hier wurde verdreifacht, |
- | Sierpinski-Dreieck | + | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 3} = 1 \). |
- | Beitragsseiten | + | |
- | Sierpinski-Dreieck | + | Es ist also nicht von vornherein festgelegt was A ist oder welchen Faktor man für V wählen muss. |
- | Flächeninhalt | + | |
- | Dimension | + | |
- | Alle Seiten | + | |
- | Das Sierpinski-Dreieck (beschrieben 1915 von Waclaw Sierpinski ) ist ein sogennantes Fraktal. | + | ---- |
+ | === D=2 (Fläche) ==== | ||
+ | {{: | ||
- | Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde. | + | {{ : |
- | Konstruktionsprinzip | + | |
- | Es gibt eine Reihe von Möglichketien das Sierpinski-Dreieck zu erzeugen. Eine Variante | + | \\ \\ |
+ | Wir erwarten, das wir für die Ebene eine Hausdorf-Dimension | ||
- | Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, | + | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 4}{ln 2} = 2 \). |
+ | ---- | ||
+ | === D=3 (Raum) ==== | ||
+ | {{: | ||
- | + | {{ : | |
- | Mit zunehmender Iterationsfiefe (hellgrün → dunkelgrün) | + | \\ \\ |
+ | Im Raum sollte D=3 herauskommen. | ||
- | Schauen Sie sich die Grafik so lange an, bis Sie ein mögliches Konstruktionsprinzip erkennen und erklären können. | + | \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln ?}{ln ?} = 3 \). |
- | + | {{: | |
- | Im weiteren werden drei wichtige Eigenschaften des Dreieck aufgezeigt: | ||
- | Flächeninhalt | + | ---- |
- | Der Flächeninhalt ist null, d.h. um es anzumalen wird keine Farbe benötigt. | + | === Sierpinski-Dreick ==== |
+ | {{: | ||
- | Umfang | + | {{:inf:tipp.gif?|}} Überlegen Sie sich, welche Werte die Faktoren ** V** und **A** besitzen. |
- | Der Umfang ist unendlich. Niemand kann in endlicher Zeit um das Dreick wandern. | + | |
- | Dimension | + | {{ : |
- | Die Dimenstion ist D=1,5850 und damit größer als eine Linie (D=1) und kleiner als eine Fläche (D=2). | + | \\ \\ |
- | |||
- | + | <WRAP center round tip 100%> | |
+ | {{: | ||
+ | ...aber erst einmal selber probieren ;-) | ||
- | Flächeninhalt | + | [[Solution-Sierpinski-Triangle]] |
- | + | ||
- | a ist die Kantenlänge des Dreiecks | + | |
- | n ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreick) | + | |
- | + | ||
- | \( A = \frac{a^2} {4} \sqrt{3}\) | + | |
- | + | ||
- | \( A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right)\) | + | |
- | | + | |
- | + | ||
- | Der Flächeninhalt geht für großes n gegen 0. | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right) = 0\) | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | Umfang | + | |
- | \( U = 3 a \) | + | |
- | + | ||
- | \( U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)\) | + | |
- | | + | |
- | + | ||
- | Der Umfang geht für großes n gegen unendlich. | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)= \infty\) | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
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- | + | ||
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- | Eine einfache Herleitung für Fläche und Umfang des Sierpinskidreiecks gibt es bei | + | |
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- | | + | |
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- | Dimension | + | |
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- | Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit " | + | |
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- | \( V^D=A \) | + | |
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- | V: Veränderungsfaktor | + | |
- | A: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen | + | |
- | D: Dimension | + | |
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- | oder aufgelöst nach der Dimension | + | |
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- | Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele. | + | |
+ | </ | ||
+ | ---- | ||
+ | === Koch-Kurve ==== | ||
+ | {{: | ||
+ | ** | ||
+ | {{ : | ||
+ | \\ | ||
+ | <WRAP center round tip 100%> | ||
+ | {{: | ||
+ | ...aber erst einmal selber probieren ;-) \\ | ||
+ | Diese Kurve heißt Koch-Kurve, machen Sie eine Internet Recherche. | ||
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sierpinski-dreieck.1705821539.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/01/21 07:18 von torsten.roehl