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sierpinski-dreieck

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sierpinski-dreieck [2024/01/21 07:18] – [Dimension] torsten.roehlsierpinski-dreieck [2024/01/21 07:55] (aktuell) – [Dimension] torsten.roehl
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 ==== Dimension ==== ==== Dimension ====
  
 +Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit "Dimensionen" zu definieren. Für unsere Zwecke aber sehr nützlich:
  
 +<note important>
 +**Definition:** \\  **(Hausdorf-Dimension)**
 +\begin{equation}  V^D=A  \end{equation}
  
-Angewandte Informatik +  * **V**: Veränderungsfaktor 
-ist geschlossen+  * **A**: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen 
 +  * **D**: Dimension 
 +</note>
  
-    Office Pakete (Textverarbeitung, Tabellenkalkulation und Präsentation) +oder aufgelöst nach der Dimension   \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} \).
-        Office Anwendungen +
-        Datenbanken +
-    Bildverarbeitung +
-        Bildverarbeitung +
-    MSR (Messen Steuern Regeln) und Robotik +
-        Hardware-Überlebensregeln +
-        Lego Roboter (leJOS) +
-            Beispiele der LEJOS Bibliothek +
-            Ein neuronales Netz für den NXT Roboter +
-        Mikrocontroller IO-Warrior +
-        Android Programmierung +
-        Raspberry Pi +
-    Softcomputing/ Künstliche Intelligenz & Komplexe Systeme +
-        IFS - Iterierte Funktionensysteme +
-        Sierpinski-Dreieck +
-        ..Neuronale Netze +
-            Was sind neuronale Netze? +
-            Hopfield-Netze +
-                Grundlagen zu Hopfield-Netzen +
-                Hopfield-Netz in Aktion+
  
-Praktische Informatik +Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele.
-ist geschlossen+
  
-    Java +** 
-        Java Grundlagen +Ziel ist es mit Hilfe dieser Definition die Dimension des Sierpinski-Dreickecks berechnen zu können.**
-        Java Applet +
-        Java & Datenbanken +
-        Java & Bildverarbeitung +
-    Hardware & Betriebssysteme +
-        Funktionsprinzip des Computers +
-        Betriebssystemarchitektur +
-    Linux +
-        Linux Essentials +
-        Linux - Grundlagen - Konsole+
  
-Technische Informatik 
-ist geschlossen 
-Theoretische Informatik 
-ist geschlossen 
-Fächerübergeifender Unterricht 
-ist geschlossen 
  
-    Physik +---- 
-    Biologie+=== D=1 (Linie) ==== 
 +{{:inf:sample.gif?|}} 
  
-Aufgaben & Tests +{{ :inf:ki:dim_1a.png? |}} 
-ist geschlossen+\\ \\ 
 +Von einer Strecke wissen wir, das sie die Dimension D=1 besitzt. Überprüfen wir also die Hausdorf-Definition an diesem uns vertrauten Beispiel.
  
-    Aufgaben & Tests+Wenn wir die Strecke verdoppeln (V=2), dann verändert sich auch die Anzahl selbstähnlicher Teilchen von hier ursprünglich eins auf A=2. \\ Die Definition liefert dann:
  
-Login Form+\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 2}{ln 2} = 1 \).
  
-Benutzername 
  
-Passwort 
  
-Angemeldet bleiben+{{ :inf:ki:dim_1b.png? |}}
  
-    Passwort vergessen? +\\ \\ 
-    Benutzername vergessen?+Hier wurde verdreifacht, d.h. es gilt V=3.  Außerdem gilt A=3, denn als selbstähliches Gebilde haben wir hier zwei kurze Striche genommen.
  
-Sierpinski-Dreieck +\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 3}{ln 3} = 1 \).
-Beitragsseiten+
  
-    Sierpinski-Dreieck +Es ist also nicht von vornherein festgelegt was A ist oder welchen Faktor man für V wählen muss.
-    Flächeninhalt +
-    Dimension +
-    Alle Seiten+
  
-Das Sierpinski-Dreieck (beschrieben 1915 von Waclaw Sierpinski ) ist ein sogennantes Fraktal.  Fraktale haben gebrochene Dimensionen, für das Sierpinski-Dreick gilt, dass es mehr als eine Linie aber weniger als eine Fläche ist. Wie wir sehen werden, kommen noch andere werkwürdigkeiten hinzu, wollten Sie es zum Beispiel anmalen, benötigen Sie keine Farbe, da der Flächenanteil des Dreicks gegen null stebt.+---- 
 +=== D=2 (Fläche) ==== 
 +{{:inf:sample.gif?|}} 
  
-  Diese Abschnitte sollten erst durchgearbeitet werden, nachdem das Chaos-Spiel in Java programmiert wurde. +{{ :inf:ki:dim2a.png? |}}
-Konstruktionsprinzip+
  
-Es gibt eine Reihe von Möglichketien das Sierpinski-Dreieck zu erzeugen. Eine Variante (Chaos-Spiel) befindet sich im Java Aufgabenteil (eine weitere Interesannte Konstruktionsmöglichkeit ergibt sich, wenn man Zellular-automaten zu Hilfe nimmt).+\\ \\ 
 +Wir erwarten, das wir für die Ebene eine Hausdorf-Dimension von D=2 herausbekommen. \\ Der Veränderungsfaktor ist hier V=2 (z.B. wird die untere Strecke verdoppelt). Von ursprüngliche einen Quadrat liegen jetzt vier der selbstähnlichen Teile vor, also ist A=4.
  
-Alle Möglichkeiten stimmen darin überein, dass das Sierpinski-Dreieck die Menge der Punkte der Ebene ist, die übrigbleiben, wenn man die Verfahren unendlich oft wiederholt (iteriert).+\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln 4}{ln 2} = 2 \). 
 +---- 
 +=== D=3 (Raum) ==== 
 +{{:inf:sample.gif?|}} 
  
- +{{ :inf:ki:dim3ab.png? |}}
  
-Mit zunehmender Iterationsfiefe (hellgrün → dunkelgrün)  wird das Sierpinski-Dreieck immer besser erkennbar. Hier wurden fünf Iterationen dargestellt.+\\ \\ 
 +Im Raum sollte D=3 herauskommen. 
  
-Schauen Sie sich die Grafik so lange an, bis Sie ein mögliches Konstruktionsprinzip erkennen und erklären können.+\( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} = \frac{ln ?}{ln ?} = 3 \).
  
- +{{:inf:aufgabe.gif?|}} **Rechnen Sie Beispiel A und B durch.**
  
-Im weiteren werden drei wichtige Eigenschaften des Dreieck aufgezeigt: 
  
-    Flächeninhalt +---- 
-        Der Flächeninhalt ist null, d.h. um es anzumalen wird keine Farbe benötigt.+=== Sierpinski-Dreick ==== 
 +{{:inf:uebung.gif?|}}  **Welche Dimension hat das Sierpinski-Dreieck?**
  
-    Umfang +{{:inf:tipp.gif?|}} Überlegen Sie sich, welche Werte die Faktoren ** V** und **A** besitzen.
-        Der Umfang ist unendlich. Niemand kann in endlicher Zeit um das Dreick wandern.+
  
-    Dimension +{{ :inf:ki:b_sdreieck.gif? |}} 
-        Die Dimenstion ist D=1,5850 und damit größer als eine Linie (D=1) und kleiner als eine Fläche (D=2).+\\ \\ 
  
-  
  
- +<WRAP center round tip 100%> 
 +{{:inf:solution.gif?|}} 
 +...aber erst einmal selber probieren ;-)
  
-Flächeninhalt +[[Solution-Sierpinski-Triangle]] \\
- +
-    a ist die Kantenlänge des Dreiecks +
-    n ist der n-te Iterationsschritt. Angefangen wird mit n=0 (Ausgangsdreick) +
- +
- \( A = \frac{a^2} {4} \sqrt{3}\)  +
- +
- \( A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right)\) +
- Ergebnis:  +
- +
- Der Flächeninhalt geht für großes n gegen 0. +
- +
-  +
-  +
-  \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \cdot \left(\frac{a^2} {4} \sqrt{3}\right) = 0\)  +
- +
-  +
- +
-  +
-Umfang +
- \( U = 3 a \)  +
- +
- \( U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)\) +
- Ergebnis:       +
- +
-Der Umfang geht  für großes n gegen unendlich. +
- +
-  +
-  +
-  \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} U_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \left(3 a\right)= \infty\)  +
- +
-  +
- +
-  +
- +
-  +
- +
-  +
- +
-  Eine einfache Herleitung für Fläche und Umfang des Sierpinskidreiecks gibt es bei +
- +
- http://www.3d-meier.de/tut10/Seite1.html +
- +
-  +
-Dimension +
- +
-Wir führen die (fraktale) Dimension nach Felix Hausdorf ein. Diese Hausdorf-Dimension ist nicht die einzige Möglichkeit "Dimensionen" zu definieren. Für unsere Zwecke aber sehr nützlich: +
- +
-\( V^D=A \) +
- +
-    V: Veränderungsfaktor +
-    A: Anzahl selbst ähnlicher Teilchen +
-    D: Dimension +
- +
-oder aufgelöst nach der Dimension   \( D = \frac{ln (A)}{ ln (V)} \). +
- +
-Um die Formel zu verstehen müssen wir noch erklären, was man unter den Variablen V und A genau zu verstehen hat. Dazu geben wir jetzt einige Beispiele.+
  
 +</WRAP>
  
 +----
 +=== Koch-Kurve ====
 +{{:inf:uebung.gif?|}} **Welche Dimension besitzt die folgende Kurve?
 +**
  
 +{{ :inf:ki:koch.png? |}}
  
 +\\
 +<WRAP center round tip 100%>
 +{{:inf:solution.gif?|}}
 +...aber erst einmal selber probieren ;-) \\
 +Diese Kurve heißt Koch-Kurve, machen Sie eine Internet Recherche.
 +</WRAP>
  
sierpinski-dreieck.1705821539.txt.gz · Zuletzt geändert: von torsten.roehl